Чтобы найти длину окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, нам сначала нужно определить его гипотенузу, так как именно она является диаметром этой окружности.
Шаг 1: Найдем гипотенузу треугольника ABC
Используем теорему Пифагора, которая гласит:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где:
- ( c ) — гипотенуза,
- ( a ) и ( b ) — катеты.
В нашем случае, катеты AC и BC равны 12 и 16 соответственно. Подставим значения:
[
c = \sqrt{12^2 + 16^2}
]
Сначала вычислим квадраты катетов:
[
12^2 = 144
]
[
16^2 = 256
]
Теперь сложим эти значения:
[
c = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400}
]
Теперь находим корень:
[
c = 20
]
Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности
В прямоугольном треугольнике длина окружности, описанной вокруг него, равна половине длины гипотенузы. Следовательно, радиус ( R ) равен:
[
R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10
]
Шаг 3: Найдем длину окружности
Длина окружности вычисляется по формуле:
[
L = 2\pi R
]
Подставляем значение радиуса:
[
L = 2\pi \cdot 10 = 20\pi
]
Ответ
Длина окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC, равна ( 20\pi ).
