Какова вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?(

Чтобы решить задачу о вероятности того, что при 9 бросках монеты «орел» выпадет ровно 4 раза, мы можем использовать формулу для биномиального распределения. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи

Мы имеем два исхода при каждом броске монеты:

• Выпадение «орла» (обозначим его как "Успех")
• Выпадение «решки» (обозначим его как "Неуспех")

Вероятность успеха (выпадение «орла») в одном броске равна \( p = 0.5 \) (так как монета честная), а вероятность неуспеха (выпадение «решки») равна \( q = 1 - p = 0.5 \).

Мы хотим найти вероятность того, что из 9 бросков (n = 9) «орел» выпадет ровно 4 раза (k = 4).

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что «орел» выпадет ровно \( k \) раз в \( n \) бросках, дается формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха
• \( q \) — вероятность неуспеха

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь мы подставим наши значения:

• \( n = 9 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = 0.5 \)
• \( q = 0.5 \)

Теперь найдём биномиальный коэффициент \( \binom{9}{4} \):

\[ \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} \] Вычислим \( 9! \), \( 4! \) и \( 5! \):

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Теперь подставим:

\[ \binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]

Шаг 4: Рассчитаем вероятность

Теперь мы можем рассчитать вероятность:

\[ P(X = 4) = \binom{9}{4} (0.5)^4 (0.5)^{9-4} = 126 \times (0.5)^4 \times (0.5)^5 \]

Объединяем степени:

\[ P(X = 4) = 126 \times (0.5)^9 = 126 \times \frac{1}{512} = \frac{126}{512} \]

Шаг 5: Упрощение дроби

Теперь упростим дробь:

\[ \frac{126}{512} = \frac{63}{256} \]

Ответ

Вероятность того, что при 9 бросках монеты «орел» выпадет ровно 4 раза, составляет \( \frac{63}{256} \) или примерно 0.2461, что соответствует 24.61%.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!