2sin5xcos5x= 1/2 Запиши в поле ответа значение корня, принадлежащее отрезку [0∘;10∘] в градусах.
Для решения уравнения \(2\sin(5x)\cos(5x) = \frac{1}{2}\) начнем с преобразования левой части.
Преобразование уравнения:
Обратим внимание, что по формуле синуса двойного угла \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). Мы можем записать левую часть уравнения как: \[ \sin(10x) = \frac{1}{2} \]Решение уравнения \(\sin(10x) = \frac{1}{2}\):
Знаем, что \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\) при \(\alpha = 30^\circ\) и \(\alpha = 150^\circ\) в пределах одного полного оборота (0° до 360°). Теперь найдем все углы, которые соответствуют \(10x\): \[ 10x = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{(где \(k\) — целое число)} \] \[ 10x = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \]Делим на 10:
Чтобы найти \(x\), нужно поделить уравнения на 10: \[ x = 3^\circ + k \cdot 36^\circ \] \[ x = 15^\circ + k \cdot 36^\circ \]Поиск корней на отрезке \([0^\circ; 10^\circ]\):
Теперь найдем все возможные значения \(x\) для \(k = 0\) и \(k = -1\):Для первого уравнения \(x = 3^\circ + k \cdot 36^\circ\):
- При \(k = 0: x = 3^\circ\).
- При \(k = -1: x = 3^\circ - 36^\circ = -33^\circ\) (не входит в отрезок).
Для второго уравнения \(x = 15^\circ + k \cdot 36^\circ\):
- При \(k = 0: x = 15^\circ\) (не входит в отрезок).
- При \(k = -1: x = 15^\circ - 36^\circ = -21^\circ\) (не входит в отрезок).
На отрезке \([0^\circ; 10^\circ]\) значение корня:
\[ \boxed{3^\circ} \]
