Найди сумму семидесяти одного члена арифметической прогрессии ( a n ) (a n ) , если a 1 = 330 a 1 =330 , d = − 8 d=−8 .

Давайте разберем, как найти сумму семидесяти одного члена арифметической прогрессии (АП) с заданными параметрами.

Шаг 1: Понять определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается добавлением (или вычитанием) постоянного числа, называемого разностью (d), к предыдущему члену.

Формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] где:

• \( a_n \) — n-й член,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность между членами,
• \( n \) — номер члена.

Шаг 2: Использовать формулу для нахождения n-го члена

В данной задаче у нас:

• \( a_1 = 330 \)
• \( d = -8 \)
• \( n = 71 \)

Подставим значения в формулу для нахождения 71-го члена: \[ a_{71} = 330 + (71 - 1) \cdot (-8) \] \[ a_{71} = 330 + 70 \cdot (-8) \] \[ a_{71} = 330 - 560 \] \[ a_{71} = -230 \]

Шаг 3: Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где:

• \( S_n \) — сумма n первых членов,
• \( a_1 \) — первый член,
• \( a_n \) — n-й член.

Теперь подставим известные значения: \[ S_{71} = \frac{71}{2} \cdot (330 + (-230)) \] \[ S_{71} = \frac{71}{2} \cdot (330 - 230) \] \[ S_{71} = \frac{71}{2} \cdot 100 \] \[ S_{71} = \frac{71 \cdot 100}{2} \] \[ S_{71} = \frac{7100}{2} \] \[ S_{71} = 3550 \]

Ответ

Сумма семидесяти одного члена арифметической прогрессии равна 3550.