Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно нулю. Чему равен угол между векторами a и b?
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется формулой:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]
где:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов;
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \);
- \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Дано, что скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно нулю:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]
Подставим это в формулу скалярного произведения:
\[ 0 = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]
Мы знаем, что векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) ненулевые, следовательно, их длины \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) больше нуля:
\[ |\mathbf{a}| > 0 \quad и \quad |\mathbf{b}| > 0 \]
Таким образом, оставшаяся часть уравнения, \( \cos(\theta) \), должна быть равна нулю:
\[ \cos(\theta) = 0 \]
Угол \( \theta \) может принимать значения, при которых косинус равен нулю. В тригонометрии такие углы — это:
\[ \theta = 90^\circ + k \cdot 180^\circ, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для целых значений \( k \), при первом значении (когда \( k=0 \)), получаем:
\[ \theta = 90^\circ \]
Таким образом, угол между ненулевыми векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( 90^\circ \), что означает, что эти векторы перпендикулярны друг к другу.
