Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) определяется формулой:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где:
- ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов;
- ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины (модули) векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} );
- ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Дано, что скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно нулю:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
]
Подставим это в формулу скалярного произведения:
[
0 = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
Мы знаем, что векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) ненулевые, следовательно, их длины ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) больше нуля:
[
|\mathbf{a}| > 0 \quad и \quad |\mathbf{b}| > 0
]
Таким образом, оставшаяся часть уравнения, ( \cos(\theta) ), должна быть равна нулю:
[
\cos(\theta) = 0
]
Угол ( \theta ) может принимать значения, при которых косинус равен нулю. В тригонометрии такие углы — это:
[
\theta = 90^\circ + k \cdot 180^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Для целых значений ( k ), при первом значении (когда ( k=0 )), получаем:
[
\theta = 90^\circ
]
Таким образом, угол между ненулевыми векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( 90^\circ ), что означает, что эти векторы перпендикулярны друг к другу.
