Давайте последовательно решим каждую из задач.
Задача 1:
Условия: Емкость изменяется от 50 пФ до 200 пФ, индуктивность 50 мГн.
Формула для расчета резонансной частоты ( f ) LC-контуров:
[
f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
]
где ( L ) — индуктивность в генри, ( C ) — емкость в фарадах.
Переведем параметры:
- ( L = 50 \text{ мГн} = 50 \times 10^{-3} \text{ Гн} )
- ( C_{min} = 50 \text{ пФ} = 50 \times 10^{-12} \text{ Ф} )
- ( C_{max} = 200 \text{ пФ} = 200 \times 10^{-12} \text{ Ф} )
Находим минимальную и максимальную частоты:
Для ( C_{min} ):
[
f_{min} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-12}}}
]
[
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{2.5 \times 10^{-15}}} \approx 1.01 \times 10^{5} \text{ Гц} \approx 101 \text{ кГц}
]
Для ( C_{max} ):
[
f_{max} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 200 \times 10^{-12}}}
]
[
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 \times 10^{-12}}} \approx 1.59 \times 10^{5} \text{ Гц} \approx 159 \text{ кГц}
]
Таким образом, диапазон радиоволн, который может принимать радиоприемник, составляет от 101 кГц до 159 кГц.
Задача 2:
Условие: Частота радиостанции 1500 кГц.
Формула для расчета длины волны ( \lambda ):
[
\lambda = \frac{c}{f}
]
где ( c ) — скорость света (≈ ( 3 \times 10^{8} ) м/с).
Переведем частоту в герцы:
[
f = 1500 \text{ кГц} = 1500 \times 10^{3} \text{ Гц}
]
Найдем длину волны:
[
\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{1500 \times 10^{3}} \approx 200 \text{ м}
]
Итак, радиоприемник должен быть настроен на длину волны 200 м.
Задача 3:
Условие: Емкость ( C = 20 \text{ пФ} ), длина волны ( \lambda = 5 \text{ м} ).
Формула для расчета резонансной частоты через длину волны:
[
f = \frac{c}{\lambda}
]
Определим частоту:
[
f = \frac{3 \times 10^{8}}{5} = 6 \times 10^{7} \text{ Гц}
]
Теперь используем формулу резонансной частоты ( f ) для определения индуктивности ( L ):
[
f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{1}{(2 \pi f)^{2} \cdot C}
]
- Переведем емкость в фарады:
[
C = 20 \text{ пФ} = 20 \times 10^{-12} \text{ Ф}
]
Теперь подставим значения:
[
L = \frac{1}{(2 \pi \cdot 6 \times 10^{7})^{2} \cdot (20 \times 10^{-12})}
]
[
\approx \frac{1}{(3.77 \times 10^{8})^{2} \cdot 20 \times 10^{-12}} \approx \frac{1}{2.839 \times 10^{16} \cdot 20 \times 10^{-12}} \approx 1.77 \times 10^{-3} \text{ Гн} = 1.77 \text{ мГн}
]
Таким образом, индуктивность катушки составляет примерно 1.77 мГн.
Задача 4:
Условие: Уравнение колебаний силы тока ( i = 0.1 \cos(6 \times 10^{5} \pi t) ).
Определим угловую частоту ( \omega ):
[
\omega = 6 \times 10^{5} \pi \text{ рад/с}
]
Частота ( f ) связана с угловой частотой:
[
f = \frac{\omega}{2 \pi} = 6 \times 10^{5} \text{ Гц}
]
Теперь используем формулу для расчета длины волны ( \lambda ) через частоту:
[
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{8}}{6 \times 10^{5}} = 500 \text{ м}
]
Таким образом, длина волны составляет 500 м.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
