Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см больше другого, а гипотенуза равна 5 см. Найдите катеты этого треугольника

Давайте решим задачу по нахождению катетов прямоугольного треугольника, где один катет на 1 см больше другого, а гипотенуза равна 5 см.

Шаг 1: Обозначим катеты

Пусть:

• \( x \) — длина меньшего катета.
• \( x + 1 \) — длина большего катета (так как он на 1 см больше).

Шаг 2: Применим теорему Пифагора

Для прямоугольного треугольника справедливо равенство: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Подставим наши обозначения, где \( c = 5 \) см: \[ x^2 + (x + 1)^2 = 5^2 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 25 \] \[ 2x^2 + 2x + 1 = 25 \]

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Теперь перенесем 25 в левую часть уравнения: \[ 2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0 \] \[ 2x^2 + 2x - 24 = 0 \]

Шаг 5: Упрощаем уравнение

Упростим его, разделив все на 2: \[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Шаг 6: Находим корни уравнения

Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Это дает два значения:

1. \( x = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x = \frac{-8}{2} = -4 \) (отбрасываем, так как длина не может быть отрицательной)

Шаг 7: Нахождение катетов

Теперь, подставив значение \( x = 3 \):

• Меньший катет \( x = 3 \) см.
• Больший катет \( x + 1 = 3 + 1 = 4 \) см.

Ответ

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны:

• Один катет: 3 см
• Другой катет: 4 см

Проверка

Проверим по теореме Пифагора: \[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \] Уравнение верно.

Итак, мы нашли катеты треугольника: 3 см и 4 см.