Давайте решим задачу по нахождению катетов прямоугольного треугольника, где один катет на 1 см больше другого, а гипотенуза равна 5 см.
Шаг 1: Обозначим катеты
Пусть:
- ( x ) — длина меньшего катета.
- ( x + 1 ) — длина большего катета (так как он на 1 см больше).
Шаг 2: Применим теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника справедливо равенство:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза. Подставим наши обозначения, где ( c = 5 ) см:
[
x^2 + (x + 1)^2 = 5^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
[
x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 25
]
[
2x^2 + 2x + 1 = 25
]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону
Теперь перенесем 25 в левую часть уравнения:
[
2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0
]
[
2x^2 + 2x - 24 = 0
]
Шаг 5: Упрощаем уравнение
Упростим его, разделив все на 2:
[
x^2 + x - 12 = 0
]
Шаг 6: Находим корни уравнения
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}
]
Это дает два значения:
- ( x = \frac{6}{2} = 3 )
- ( x = \frac{-8}{2} = -4 ) (отбрасываем, так как длина не может быть отрицательной)
Шаг 7: Нахождение катетов
Теперь, подставив значение ( x = 3 ):
- Меньший катет ( x = 3 ) см.
- Больший катет ( x + 1 = 3 + 1 = 4 ) см.
Ответ
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны:
- Один катет: 3 см
- Другой катет: 4 см
Проверка
Проверим по теореме Пифагора:
[
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
]
Уравнение верно.
Итак, мы нашли катеты треугольника: 3 см и 4 см.
