Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условия задачи
У нас есть:
- Ёмкость конденсатора ( C = 2,8 \times 10^{-7} ) Ф.
- Длина волны ( \lambda = 3000 ) м.
Нам нужно найти индуктивность катушки контура ( L ).
Шаг 1: Определение частоты
Сначала мы найдем частоту радиоволны ( f ), используя формулу для длины волны:
[
f = \frac{c}{\lambda}
]
где ( c ) — скорость света в вакууме (примерно ( 3 \times 10^8 ) м/с).
Подставим значения:
[
f = \frac{3 \times 10^8 , \text{м/с}}{3000 , \text{м}} = 1 \times 10^5 , \text{Гц} = 100 , \textк{кГц}
]
Шаг 2: Связь частоты, ёмкости и индуктивности
Теперь используем формулу для резонансной частоты колебательного контура:
[
f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
]
Где:
- ( L ) — индуктивность,
- ( C ) — ёмкость.
Шаг 3: Преобразование формулы
Мы хотим выразить ( L ) через ( C ) и ( f ). Перепишем формулу:
[
f^2 = \frac{1}{(2\pi)^2 LC}
]
Умножим обе стороны на ( LC ):
[
f^2 LC = 1
]
Теперь выразим ( L ):
[
L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C}
]
Шаг 4: Подставляем известные значения
Подставим найденные значения ( f ) и ( C ):
[
L = \frac{1}{(2\pi \times 1 \times 10^5)^2 \times 2,8 \times 10^{-7}}
]
Теперь считаем:
- ( 2\pi \approx 6,28 )
- ( 2\pi f \approx 6,28 \times 10^5 )
- ( (2\pi f)^2 \approx (6,28 \times 10^5)^2 \approx 3,947 \times 10^{11} )
Теперь подставим это значение в формулу для L:
[
L = \frac{1}{3,947 \times 10^{11} \times 2,8 \times 10^{-7}}
]
Считаем:
[
L \approx \frac{1}{1,107 \times 10^5} \approx 9,02 \times 10^{-6} , \text{Гн}
]
Ответ
Индуктивность катушки контура составляет примерно ( 9,02 , \mu H ) (микрогенри).
Таким образом, мы нашли индуктивность катушки контура, используя данные о ёмкости и длине волны. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
