Чтобы найти производную функции ( y = 4 \sin x \cdot \cos x ), мы можем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения равна:
[
(uv)' = u'v + uv'
]
В нашем случае:
- ( u = 4 \sin x )
- ( v = \cos x )
Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ):
- Находим ( u' ):
[
u = 4 \sin x \implies u' = 4 \cos x
]
- Находим ( v' ):
[
v = \cos x \implies v' = -\sin x
]
Теперь можем подставить наши производные в формулу правила произведения:
[
y' = u'v + uv' = (4 \cos x)(\cos x) + (4 \sin x)(-\sin x)
]
Распишем это подробнее:
[
y' = 4 \cos x \cdot \cos x - 4 \sin x \cdot \sin x
]
[
= 4 \cos^2 x - 4 \sin^2 x
]
Мы можем вынести общий множитель:
[
y' = 4(\cos^2 x - \sin^2 x)
]
Используя тригонометрическую идентичность, можем упростить это выражение до:
[
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)
]
Следовательно, окончательный ответ будет:
[
y' = 4 \cos(2x)
]
Это и есть производная функции ( y = 4 \sin x \cdot \cos x ).
