найти производные y=4sinx•cosx
Чтобы найти производную функции \( y = 4 \sin x \cdot \cos x \), мы можем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения равна:
\[ (uv)' = u'v + uv' \]
В нашем случае:
- \( u = 4 \sin x \)
- \( v = \cos x \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
- Находим \( u' \):
\[ u = 4 \sin x \implies u' = 4 \cos x \]
- Находим \( v' \):
\[ v = \cos x \implies v' = -\sin x \]
Теперь можем подставить наши производные в формулу правила произведения:
\[ y' = u'v + uv' = (4 \cos x)(\cos x) + (4 \sin x)(-\sin x) \]
Распишем это подробнее:
\[ y' = 4 \cos x \cdot \cos x - 4 \sin x \cdot \sin x \] \[ = 4 \cos^2 x - 4 \sin^2 x \]
Мы можем вынести общий множитель:
\[ y' = 4(\cos^2 x - \sin^2 x) \]
Используя тригонометрическую идентичность, можем упростить это выражение до:
\[ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) \]
Следовательно, окончательный ответ будет:
\[ y' = 4 \cos(2x) \]
Это и есть производная функции \( y = 4 \sin x \cdot \cos x \).
