решить систему уравнений
Рассмотрим данную систему уравнений:
- \(\frac{x}{2} - 5y = 2\)
- \(x^2 - y = 10\)
Решим ее по шагам.
Шаг 1: Решение первого уравнения относительно \(x\)
Перепишем первое уравнение: \[ \frac{x}{2} - 5y = 2 \]
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x - 10y = 4 \]
Выразим \(x\): \[ x = 10y + 4 \]
Шаг 2: Подстановка во второе уравнение
Теперь подставим выражение для \(x\) из первого уравнения во второе уравнение: \[ (10y + 4)^2 - y = 10 \]
Раскроем скобки: \[ (10y + 4)^2 = 100y^2 + 80y + 16 \]
Подставим в уравнение: \[ 100y^2 + 80y + 16 - y = 10 \]
Упростим: \[ 100y^2 + 79y + 16 = 10 \]
Перенесем 10 в левую часть уравнения: \[ 100y^2 + 79y + 6 = 0 \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Используем формулу квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Для нашего уравнения:
- \(a = 100\)
- \(b = 79\)
- \(c = 6\)
Подставим значения в формулу: \[ b^2 - 4ac = 79^2 - 4 \cdot 100 \cdot 6 = 6241 - 2400 = 3841 \]
Так как 3841 – не квадрат какого-либо целого числа, найдем приближенные решения:
\[ y = \frac{{-79 \pm \sqrt{3841}}}{200} \]
Примерное значение \(\sqrt{3841} \approx 61.96\).
Посчитаем:
- \(y_1 = \frac{{-79 + 61.96}}{200} \approx -0.0852\)
- \(y_2 = \frac{{-79 - 61.96}}{200} \approx -0.705\)
Шаг 4: Найдем соответствующие значения \(x\)
Для \(y_1 \approx -0.0852\): \[ x_1 = 10 \cdot (-0.0852) + 4 = 3.148 \]
Для \(y_2 \approx -0.705\): \[ x_2 = 10 \cdot (-0.705) + 4 = -2.05 \]
Таким образом, решения системы приближенно:
\((x_1, y_1) \approx (3.148, -0.0852)\)
\((x_2, y_2) \approx (-2.05, -0.705)\)
