Бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что бросив кость 5 раз, мы выбросим шестерку не менее 4, но не более 6 раз?

Чтобы найти вероятность того, что при броске игральной кости 5 раз шестерка выпадет не менее 4, но не более 6 раз, давайте разберемся с основами этого вопроса.

Шаг 1: Определение вероятности выпадения шестерки

Игральная кость имеет 6 сторон, поэтому вероятность того, что при одном броске мы получим шестерку, равна:

\[ P(шестерка) = \frac{1}{6} \]

Вероятность того, что шестерка не выпадет, равна:

\[ P(не\ шестерка) = \frac{5}{6} \]

Шаг 2: Применение биномиального распределения

Так как мы рассматриваем случай, где мы бросаем кость 5 раз и фиксируем количество успешных исходов (выпадение шестерки), это подходит под биномиальное распределение. В данном случае количество испытаний \(n = 5\), а вероятность успеха \(p = \frac{1}{6}\).

Формула для биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(X\) — количество успешных исходов (выброс шестерки),
• \(k\) — количество выпадений шестерки (в нашем случае 4 или 5),
• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Шаг 3: Вычисление для \(k = 4\) и \(k = 5\)

1. Вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза (\(k = 4\)):

\[ P(X = 4) = \binom{5}{4} \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^{1} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5 \]

Тогда подставим в формулу:

\[ P(X = 4) = 5 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^{1} = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot \frac{5}{7776} = \frac{25}{7776} \]

2. Вероятность того, что шестерка выпадет 5 раз (\(k = 5\)):

\[ P(X = 5) = \binom{5}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^5 \left( \frac{5}{6} \right)^{0} \]

В данном случае:

\[ \binom{5}{5} = 1 \]

Тогда подставим в формулу:

\[ P(X = 5) = 1 \left( \frac{1}{6} \right)^5 = \frac{1}{7776} \]

Шаг 4: Сложение двух вероятностей

Теперь нам нужно сложить вероятности, чтобы получить вероятность того, что шестерка выпадет не менее 4 и не более 5 раз:

\[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{25}{7776} + \frac{1}{7776} = \frac{26}{7776} \]

Шаг 5: Упрощение вероятности

Теперь упростим дробь:

\[ \frac{26}{7776} = \frac{13}{3888} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что шестерка появится не менее 4, но не более 6 раз, при броске кости 5 раз, составляет:

\[ \frac{13}{3888} \text{ или приблизительно } 0.00334. \]