За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах он один раз попадет в мишень. по формуле Бернулли
Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень один раз из пяти выстрелов, мы можем использовать формулу Бернулли. Формула Бернулли применяется для вычисления вероятности определенного количества успехов в фиксированном числе испытаний, когда успехи независимы.
Формула Бернулли выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \(P(X = k)\) — вероятность того, что произойдет ровно \(k\) успехов (в нашем случае попаданий),
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}\),
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае попадания в мишень),
- \(n\) — общее количество испытаний (в нашем случае количество выстрелов),
- \(1 - p\) — вероятность неудачи в одном испытании.
В нашей задаче:
- \(p = 0.02\) (вероятность попадания в мишень),
- \(n = 5\) (количество выстрелов),
- \(k = 1\) (количество попаданий).
Теперь подставим значения в формулу:
Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5 - 1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \times 4!}{1 \times 4!} = 5. \]
Вычислим вероятность попадания один раз: \[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot p^1 \cdot (1 - p)^{5 - 1}. \] Подставим значения: \[ P(X = 1) = 5 \cdot (0.02)^1 \cdot (0.98)^4. \]
Вычислим \( (0.02)^1 \) и \( (0.98)^4 \):
- \( (0.02)^1 = 0.02 \).
- \( (0.98)^4 \approx 0.92236816 \) (вычислено с помощью калькулятора).
Теперь подставим всё обратно в формулу: \[ P(X = 1) = 5 \cdot 0.02 \cdot 0.92236816. \] \[ P(X = 1) \approx 5 \cdot 0.02 \cdot 0.92236816 \approx 0.092236816. \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно один раз при пяти выстрелах, составляет примерно 0.0922 или 9.22%.
Если что-то из описанного не ясно или требуется дополнительное пояснение, пожалуйста, дайте знать!
