Решите графически уравнение: -1/2x в квадрате = 1/2х + 2
Для решения графически уравнения \(-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 2\), сначала приведем его к стандартному виду уравнения, чтобы потом можно было построить его график.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Начнем с того, что перенесем все элементы на одну сторону уравнения:
\[ -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = 0 \]
Умножим все уравнение на -2, чтобы избавиться от дробей:
\[ x^2 + x + 4 = 0 \]
Шаг 2: Анализ уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартном виде. Однако, прежде чем строить график, стоит проверить, есть ли у данного уравнения действительные корни.
Для этого используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставляем значения:
- \(a = 1\)
- \(b = 1\)
- \(c = 4\)
Рассчитаем дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 \]
Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это означает, что у уравнения нет действительных корней и, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.
Шаг 3: Построение графика
Для построения графика уравнения мы можем записать его в виде функции:
\[ y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 \]
Это парабола, открытая вниз. Чтобы построить график, нужно найти несколько значений функции (например, для \(x = -4, -2, 0, 2, 4\)):
- \(x = -4\): \[ y = -\frac{1}{2}(-4)^2 - \frac{1}{2}(-4) - 2 = -8 + 2 - 2 = -8 \]
- \(x = -2\): \[ y = -\frac{1}{2}(-2)^2 - \frac{1}{2}(-2) - 2 = -2 + 1 - 2 = -3 \]
- \(x = 0\): \[ y = -\frac{1}{2}(0)^2 - \frac{1}{2}(0) - 2 = -2 \]
- \(x = 2\): \[ y = -\frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{2}(2) - 2 = -2 - 1 - 2 = -5 \]
- \(x = 4\): \[ y = -\frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}(4) - 2 = -8 - 2 - 2 = -12 \]
Шаг 4: Подсчет точек и их построение
Теперь у нас есть точки:
- \((-4, -8)\)
- \((-2, -3)\)
- \((0, -2)\)
- \((2, -5)\)
- \((4, -12)\)
Шаг 5: Построение графика
На координатной плоскости отметьте точки, которые мы нашли. Соедините их плавной кривой, которая будет представлять параболу, открывающуюся вниз и не пересекающую ось \(x\).
Вывод
Таким образом, графически уравнение \(-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 2\) представляет собой параболу, которая не имеет действительных корней и не пересекает ось \(x\).
