Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных, которые мы имеем:
- Имеется прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен ( a = 240 ).
- Угол, прилежащий к этому катету, равен ( \alpha = \frac{\pi}{3} ).
Шаг 1: Вычисление радиуса описанного круга
Для прямоугольного треугольника радиус ( R ) описанной окружности выражается формулой:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — это гипотенуза треугольника. Для поиска гипотенузы нам сначала нужно найти длину второго катета ( b ) и гипотенузы ( c ).
Шаг 2: Нахождение второго катета
Применим тригонометрические функции, так как нам известен один катет и угол.
[
\tan(\alpha) = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \tan(\alpha)
]
Подставим значения:
[
b = 240 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)
]
Зная, что ( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} ):
[
b = 240 \cdot \sqrt{3}
]
Шаг 3: Нахождение гипотенузы
Теперь найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставим известные длины катетов:
[
c = \sqrt{240^2 + (240\sqrt{3})^2}
]
Сначала найдем квадрат ( b ):
[
(240\sqrt{3})^2 = 240^2 \cdot 3 = 57600 \cdot 3 = 172800
]
Теперь подставим это в формулу для гипотенузы:
[
c = \sqrt{240^2 + 172800} = \sqrt{57600 + 172800} = \sqrt{230400} = 480
]
Шаг 4: Нахождение радиуса описанной окружности
Теперь можем вычислить радиус ( R ):
[
R = \frac{c}{2} = \frac{480}{2} = 240
]
Шаг 5: Нахождение площади круга
Площадь круга ( S ) вычисляется по формуле:
[
S = \pi R^2
]
Подставим найденный радиус:
[
S = \pi (240)^2 = \pi \cdot 57600
]
Шаг 6: Нахождение величины ( \frac{S}{\pi} )
Теперь мы можем найти значение ( \frac{S}{\pi} ):
[
\frac{S}{\pi} = 57600
]
Ответ
Таким образом, величина ( \frac{S}{\pi} ) равна 57600.
