Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 240 , а угол, прилежащий к этому катету, равен π/3 . Найдите величину S/π , где S - площадь круга.
Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных, которые мы имеем:
- Имеется прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен \( a = 240 \).
- Угол, прилежащий к этому катету, равен \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
Шаг 1: Вычисление радиуса описанного круга
Для прямоугольного треугольника радиус \( R \) описанной окружности выражается формулой:
\[ R = \frac{c}{2} \]
где \( c \) — это гипотенуза треугольника. Для поиска гипотенузы нам сначала нужно найти длину второго катета \( b \) и гипотенузы \( c \).
Шаг 2: Нахождение второго катета
Применим тригонометрические функции, так как нам известен один катет и угол.
\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \tan(\alpha) \]
Подставим значения:
\[ b = 240 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
Зная, что \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \):
\[ b = 240 \cdot \sqrt{3} \]
Шаг 3: Нахождение гипотенузы
Теперь найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Подставим известные длины катетов:
\[ c = \sqrt{240^2 + (240\sqrt{3})^2} \]
Сначала найдем квадрат \( b \):
\[ (240\sqrt{3})^2 = 240^2 \cdot 3 = 57600 \cdot 3 = 172800 \]
Теперь подставим это в формулу для гипотенузы:
\[ c = \sqrt{240^2 + 172800} = \sqrt{57600 + 172800} = \sqrt{230400} = 480 \]
Шаг 4: Нахождение радиуса описанной окружности
Теперь можем вычислить радиус \( R \):
\[ R = \frac{c}{2} = \frac{480}{2} = 240 \]
Шаг 5: Нахождение площади круга
Площадь круга \( S \) вычисляется по формуле:
\[ S = \pi R^2 \]
Подставим найденный радиус:
\[ S = \pi (240)^2 = \pi \cdot 57600 \]
Шаг 6: Нахождение величины \( \frac{S}{\pi} \)
Теперь мы можем найти значение \( \frac{S}{\pi} \):
\[ \frac{S}{\pi} = 57600 \]
Ответ
Таким образом, величина \( \frac{S}{\pi} \) равна 57600.
