Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим:

• \( S \) — весь путь от А до В (в километрах),
• \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (в км/ч),
• \( v_2 \) — скорость второго автомобиля на второй половине пути (в км/ч).

Из условия задачи мы можем сделать следующие выводы:

1. Второй автомобиль проехал первую половину пути (\( \frac{S}{2} \)) со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути со скоростью \( v_1 + 6 \) км/ч.
2. Оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно.

Шаг 1: Время в пути для каждого автомобиля

Сначала найдем время, которое потребовалось каждому автомобилю для проезда пути.

Первый автомобиль: Время в пути первого автомобиля можно выразить как \[ t_1 = \frac{S}{v_1}. \]

Второй автомобиль: Время в пути второго автомобиля для первой половины пути будет равно \[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{55} = \frac{S}{110}. \] Для второй половины пути, его время будет \[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 6} = \frac{S}{2(v_1 + 6)}. \] Таким образом, общее время в пути второго автомобиля: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)}. \]

Шаг 2: Запись уравнения

Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно, можно установить равенство их времен в пути: \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)}. \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Сократим \( S \) (при условии, что \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2(v_1 + 6)}. \] Теперь умножим все части уравнения на \( 110 \cdot 2 \cdot v_1 (v_1 + 6) \): \[ 220(v_1 + 6) = 2 \cdot 110 \cdot v_1 + 110 \cdot 2 \cdot v_1. \] Упростим: \[ 220v_1 + 1320 = 220v_1 + 110 \cdot v_1. \] Затем, перенесем все слагаемые: \[ 220v_1 + 1320 = 220v_1 + 110v_1. \] Сократим \( 220v_1 \): \[ 1320 = 110v_1. \] Теперь найдем \( v_1 \): \[ v_1 = \frac{1320}{110} = 12. \]

Шаг 4: Проверка

Скорость первого автомобиля, по нашему расчету, равна 12 км/ч. Теперь давайте проверим данное значение, подставив его обратно в условия задачи.

Скорость второго автомобиля во второй половине пути будет: \[ v_2 = v_1 + 6 = 12 + 6 = 18 \text{ км/ч}. \]

Время в пути для первого автомобиля: \[ t_1 = \frac{S}{12}. \]

Время в пути для второго автомобиля:

• Время на первой половине: \[ t_{2,1} = \frac{S/2}{55} = \frac{S}{110}. \]
• Время на второй половине: \[ t_{2,2} = \frac{S/2}{18} = \frac{S}{36}. \]

Общее время: \[ t_2 = \frac{S}{110} + \frac{S}{36}. \]

Приведем к общему знаменателю (лучше всего 3960): \[ t_2 = \left(\frac{36S + 110S}{3960}\right) = \frac{146S}{3960}. \]

Теперь сравним \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ t_1 = \frac{S}{12} = \frac{330S}{3960}. \] Таким образом, \( t_1 = t_2 \).

Таким образом, скорость первого автомобиля действительно составляет 12 км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля равна 12 км/ч.