Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим:
- ( S ) — весь путь от А до В (в километрах),
- ( v_1 ) — скорость первого автомобиля (в км/ч),
- ( v_2 ) — скорость второго автомобиля на второй половине пути (в км/ч).
Из условия задачи мы можем сделать следующие выводы:
- Второй автомобиль проехал первую половину пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути со скоростью ( v_1 + 6 ) км/ч.
- Оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно.
Шаг 1: Время в пути для каждого автомобиля
Сначала найдем время, которое потребовалось каждому автомобилю для проезда пути.
Первый автомобиль:
Время в пути первого автомобиля можно выразить как
[
t_1 = \frac{S}{v_1}.
]
Второй автомобиль:
Время в пути второго автомобиля для первой половины пути будет равно
[
t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{55} = \frac{S}{110}.
]
Для второй половины пути, его время будет
[
t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 6} = \frac{S}{2(v_1 + 6)}.
]
Таким образом, общее время в пути второго автомобиля:
[
t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)}.
]
Шаг 2: Запись уравнения
Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно, можно установить равенство их времен в пути:
[
\frac{S}{v_1} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)}.
]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Сократим ( S ) (при условии, что ( S \neq 0 )):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2(v_1 + 6)}.
]
Теперь умножим все части уравнения на ( 110 \cdot 2 \cdot v_1 (v_1 + 6) ):
[
220(v_1 + 6) = 2 \cdot 110 \cdot v_1 + 110 \cdot 2 \cdot v_1.
]
Упростим:
[
220v_1 + 1320 = 220v_1 + 110 \cdot v_1.
]
Затем, перенесем все слагаемые:
[
220v_1 + 1320 = 220v_1 + 110v_1.
]
Сократим ( 220v_1 ):
[
1320 = 110v_1.
]
Теперь найдем ( v_1 ):
[
v_1 = \frac{1320}{110} = 12.
]
Шаг 4: Проверка
Скорость первого автомобиля, по нашему расчету, равна 12 км/ч. Теперь давайте проверим данное значение, подставив его обратно в условия задачи.
Скорость второго автомобиля во второй половине пути будет:
[
v_2 = v_1 + 6 = 12 + 6 = 18 \text{ км/ч}.
]
Время в пути для первого автомобиля:
[
t_1 = \frac{S}{12}.
]
Время в пути для второго автомобиля:
- Время на первой половине:
[
t_{2,1} = \frac{S/2}{55} = \frac{S}{110}.
]
- Время на второй половине:
[
t_{2,2} = \frac{S/2}{18} = \frac{S}{36}.
]
Общее время:
[
t_2 = \frac{S}{110} + \frac{S}{36}.
]
Приведем к общему знаменателю (лучше всего 3960):
[
t_2 = \left(\frac{36S + 110S}{3960}\right) = \frac{146S}{3960}.
]
Теперь сравним ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
t_1 = \frac{S}{12} = \frac{330S}{3960}.
]
Таким образом, ( t_1 = t_2 ).
Таким образом, скорость первого автомобиля действительно составляет 12 км/ч.
Ответ: Скорость первого автомобиля равна 12 км/ч.
