упростить выражение 1)sin^4z+cos^2z+sin^2z•cos^2z; 2)sin^4z-cos^4z-sin^2z+cos^2z; 3)cos^2z/1-sin^2z; 4)1-2sin^2z/2cos^2z-1.
Давайте последовательно упростим каждое из предложенных выражений.
1) \( \sin^4 z + \cos^2 z + \sin^2 z \cdot \cos^2 z \)
Шаг 1: Используем известные тригонометрические тождества. Мы знаем, что \( \sin^2 z + \cos^2 z = 1 \).
Шаг 2: Попробуем упростить это выражение. Мы можем переписать \( \sin^4 z \) как \( (\sin^2 z)^2 \) и использовать \( \cos^2 z = 1 - \sin^2 z \):
\[ \sin^4 z = \sin^2 z \cdot \sin^2 z \]
Теперь подставим:
\[ = \sin^2 z \cdot \sin^2 z + (1 - \sin^2 z) + \sin^2 z (1 - \sin^2 z) \]
Шаг 3: Пособерем все это вместе:
\[ = \sin^4 z + 1 - \sin^2 z + \sin^2 z - \sin^4 z \]
Шаг 4: Сложение и сокращение:
\[ = 1 \]
Ответ: \( 1 \)
2) \( \sin^4 z - \cos^4 z - \sin^2 z + \cos^2 z \)
Шаг 1: Используем разность квадратов для элементы \( -\cos^4 z \):
\[ \sin^4 z - \cos^4 z = (\sin^2 z - \cos^2 z)(\sin^2 z + \cos^2 z) \]
Так как \( \sin^2 z + \cos^2 z = 1 \), у нас остается:
\[ = \sin^2 z - \cos^2 z \]
Следовательно, мы можем переписать всё выражение:
\[ = (\sin^2 z - \cos^2 z) - \sin^2 z + \cos^2 z \]
Шаг 2: Упростим:
\[ = \sin^2 z - \cos^2 z - \sin^2 z + \cos^2 z = 0 \]
Ответ: \( 0 \)
3) \( \frac{\cos^2 z}{1 - \sin^2 z} \)
Шаг 1: Используем тождество \( 1 - \sin^2 z = \cos^2 z \):
\[ = \frac{\cos^2 z}{\cos^2 z} \]
Шаг 2: Для \( \cos^2 z \neq 0 \):
\[ = 1 \]
Ответ: \( 1 \) (при \( \cos z \neq 0 \))
4) \( \frac{1 - 2\sin^2 z}{2\cos^2 z - 1} \)
Шаг 1: Посмотрим сначала на числитель, который можно переписать с помощью тригонометрического тождества. Знаем:
\[ 1 - 2\sin^2 z = \cos(2z) \]
Шаг 2: Посмотрим на знаменатель:
\[ 2\cos^2 z - 1 = \cos(2z) \]
Таким образом, мы можем переписать:
\[ \frac{\cos(2z)}{\cos(2z)} = 1 \quad \text{(при значении } \cos(2z) \neq 0\text{)} \]
Ответ: \( 1 \) (при \( \cos(2z) \neq 0 \))
Таким образом, все выражения упрощены! Если у вас есть дополнительные вопросы или темы для обсуждения, не стесняйтесь обращаться.
