Давайте последовательно упростим каждое из предложенных выражений.
1) ( \sin^4 z + \cos^2 z + \sin^2 z \cdot \cos^2 z )
Шаг 1: Используем известные тригонометрические тождества. Мы знаем, что ( \sin^2 z + \cos^2 z = 1 ).
Шаг 2: Попробуем упростить это выражение. Мы можем переписать ( \sin^4 z ) как ( (\sin^2 z)^2 ) и использовать ( \cos^2 z = 1 - \sin^2 z ):
[
\sin^4 z = \sin^2 z \cdot \sin^2 z
]
Теперь подставим:
[
= \sin^2 z \cdot \sin^2 z + (1 - \sin^2 z) + \sin^2 z (1 - \sin^2 z)
]
Шаг 3: Пособерем все это вместе:
[
= \sin^4 z + 1 - \sin^2 z + \sin^2 z - \sin^4 z
]
Шаг 4: Сложение и сокращение:
[
= 1
]
Ответ: ( 1 )
2) ( \sin^4 z - \cos^4 z - \sin^2 z + \cos^2 z )
Шаг 1: Используем разность квадратов для элементы ( -\cos^4 z ):
[
\sin^4 z - \cos^4 z = (\sin^2 z - \cos^2 z)(\sin^2 z + \cos^2 z)
]
Так как ( \sin^2 z + \cos^2 z = 1 ), у нас остается:
[
= \sin^2 z - \cos^2 z
]
Следовательно, мы можем переписать всё выражение:
[
= (\sin^2 z - \cos^2 z) - \sin^2 z + \cos^2 z
]
Шаг 2: Упростим:
[
= \sin^2 z - \cos^2 z - \sin^2 z + \cos^2 z = 0
]
Ответ: ( 0 )
3) ( \frac{\cos^2 z}{1 - \sin^2 z} )
Шаг 1: Используем тождество ( 1 - \sin^2 z = \cos^2 z ):
[
= \frac{\cos^2 z}{\cos^2 z}
]
Шаг 2: Для ( \cos^2 z \neq 0 ):
[
= 1
]
Ответ: ( 1 ) (при ( \cos z \neq 0 ))
4) ( \frac{1 - 2\sin^2 z}{2\cos^2 z - 1} )
Шаг 1: Посмотрим сначала на числитель, который можно переписать с помощью тригонометрического тождества. Знаем:
[
1 - 2\sin^2 z = \cos(2z)
]
Шаг 2: Посмотрим на знаменатель:
[
2\cos^2 z - 1 = \cos(2z)
]
Таким образом, мы можем переписать:
[
\frac{\cos(2z)}{\cos(2z)} = 1 \quad \text{(при значении } \cos(2z) \neq 0\text{)}
]
Ответ: ( 1 ) (при ( \cos(2z) \neq 0 ))
Таким образом, все выражения упрощены! Если у вас есть дополнительные вопросы или темы для обсуждения, не стесняйтесь обращаться.
