. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) √ 5 / (√ 5 - 2); 2) 8 / (√ 10 - √ 2); 3) 9 / (√ x + √ y); 4) (2 - √ 2) / (2 + √ 2).

Конечно! Давайте разберем, как избавляться от иррациональности в знаменателе дробей. Процесс называется "умножение на конъюгат" (или "сопряженное выражение") и используется для избавления от корней в знаменателе.

1) \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}\)

Чтобы избавиться от иррациональности, мы умножим и разделим дробь на сопряженное выражение знаменателя, то есть \(\sqrt{5} + 2\):

\[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} \]

Теперь найдем числитель и знаменатель:

Числитель: \[ \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2) = 5 + 2\sqrt{5} \]

Знаменатель: Используем формулу разности квадратов: \[ (\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1 \]

Таким образом, результат: \[ \frac{5 + 2\sqrt{5}}{1} = 5 + 2\sqrt{5} \]

2) \(\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}\)

Мы умножим и разделим дробь на \(\sqrt{10} + \sqrt{2}\):

\[ \frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} \]

Числитель: \[ 8(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 8\sqrt{10} + 8\sqrt{2} \]

Знаменатель: С использованием разности квадратов: \[ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8 \]

Итак, результат: \[ \frac{8\sqrt{10} + 8\sqrt{2}}{8} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \]

3) \(\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\)

Умножаем и делим на \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\):

\[ \frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \]

Числитель: \[ 9(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 9\sqrt{x} - 9\sqrt{y} \]

Знаменатель: \[ (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y \]

Таким образом, результат: \[ \frac{9\sqrt{x} - 9\sqrt{y}}{x - y} \]

4) \(\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}\)

Умножаем и делим на \(2 - \sqrt{2}\):

\[ \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \]

Числитель: \[ (2 - \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2} \]

Знаменатель: Разность квадратов: \[ 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \]

Таким образом, результат: \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть окончательные ответы для каждой из дробей, избавленных от иррациональности в знаменателе! Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать!