Освободите от иррациональности в знаменателе дроби: 1) √ 5 / (√ 5 - 2); 2) 8 / (√ 10 - √ 2); 3) 9 / (√ x + √ y); 4) (2 - √ 2) / (2 + √ 2). Объясняя как делать и как сокращать

Давайте шаг за шагом освободим от иррациональности в знаменателе каждой из данных дробей.

1) \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя. Сопряжённое выражение к \( \sqrt{5} - 2 \) — это \( \sqrt{5} + 2 \).

Шаги: \[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} \]

Находим числитель: \[ \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2) = 5 + 2\sqrt{5} \]

Теперь находим знаменатель, используя формулу разности квадратов: \[ (\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1 \]

Таким образом, дробь становится: \[ \frac{5 + 2\sqrt{5}}{1} = 5 + 2\sqrt{5} \]

2) \( \frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \)

Аналогично, умножим читель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{10} + \sqrt{2} \).

Шаги: \[ \frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} \]

Числитель: \[ 8(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 8\sqrt{10} + 8\sqrt{2} \]

Знаменатель: \[ \sqrt{10}^2 - \sqrt{2}^2 = 10 - 2 = 8 \]

Теперь дробь: \[ \frac{8\sqrt{10} + 8\sqrt{2}}{8} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \]

3) \( \frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \)

Опять же, умножаем на сопряжённое выражение \( \sqrt{x} - \sqrt{y} \).

Шаги: \[ \frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \]

Числитель: \[ 9(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 9\sqrt{x} - 9\sqrt{y} \]

Знаменатель: \[ \sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2 = x - y \]

Дробь: \[ \frac{9\sqrt{x} - 9\sqrt{y}}{x - y} \]

4) \( \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \)

Здесь мы также умножим на сопряжённое выражение \( 2 - \sqrt{2} \).

Шаги: \[ \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \]

Числитель: \[ (2 - \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2} \]

Знаменатель: \[ 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \]

Теперь дробь: \[ \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \]

Итог

• \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = 5 + 2\sqrt{5} \)
• \( \frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
• \( \frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{9\sqrt{x} - 9\sqrt{y}}{x - y} \)
• \( \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2} \)

Если у вас есть вопросы по каждому шагу или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!