.

Для решения задачи сначала разберем условия и применение теоремы о подобии треугольников.

Условия задачи:

В треугольниках \( ABC \) и \( DNK \) известны стороны, также известно, что площадь треугольника \( DNK \) равна \( 35 \, \text{см}^2 \). Нужно найти площадь треугольника \( ABC \).

Шаг 1: Определение подобия треугольников

Треугольники \( DNK \) и \( ABC \) подобны по трем признакам. В одном из условий указано, что: \[ \triangle DNK \sim \triangle ABC \]

Шаг 2: Применение коэффициента подобия

Подобие треугольников значит, что стороны пропорциональны: \[ \frac{6}{9} = \frac{9}{13.5} = \frac{8}{12} \]

Коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Шаг 3: Вычисление площади треугольника \( ABC \)

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{DNK}} = k^2 \]

Подставим известные значения: \[ \frac{S_{ABC}}{35} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Решаем для \( S_{ABC} \): \[ S_{ABC} = 35 \times \frac{4}{9} = \frac{140}{9} \approx 15.56 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) составляет приблизительно \( 15.56 \, \text{см}^2 \).