Площадь кругового сектора можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2
]
где ( S ) — площадь сектора, ( \alpha ) — угол сектора в градусах, а ( r ) — радиус окружности.
Также можно воспользоваться другой формулой, связанной с длиной дуги ( L ):
[
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r
]
В данном случае длина дуги ( L = 6\pi ) и угол ( \alpha = 120^\circ ).
Сначала найдем радиус ( r ). Подставим известные значения в формулу для длины дуги:
[
6\pi = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r
]
Упростим:
[
6\pi = \frac{1}{3} \cdot 2\pi r
]
[
6\pi = \frac{2\pi}{3} r
]
Теперь выразим ( r ):
[
r = 6\pi \cdot \frac{3}{2\pi} = 9
]
Теперь, когда мы знаем радиус ( r = 9 ), можем найти площадь сектора:
[
S = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2
]
Подставим ( r ):
[
S = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 = 27\pi
]
Теперь, наконец, делим площадь на ( \pi ):
[
\frac{S}{\pi} = 27
]
Ответ: ( 27 ).
