1.
стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели， причем вероятность попалания
в цель в начале стрельбы равна 0,7， а после каждого выстрела уменьшается на 0， 1. вычислить ве-
роятность того， что цель будет поражена： а) четыре раза； 6) три раза； в) не менее трех раз.
2.
в двух коробках имеются однотипные конденсаторы. в первой 20 конденсаторов， из них 2 неис-
правных， во второй - 10， из них 3 неисправных. а) найти вероятность тог0， что наутал взятый
конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию. б) наугал взятый конлен-
сатор оказался годным. из какой коробки он вероятнее всего взят？
Решим задачу по шагам.
### Задача 1
**Исходные данные:**
- Вероятность попадания в цель в начале = 0,7.
- Каждый выстрел уменьшает вероятность попадания на 0,1.
- Мы сделаем 4 выстрела.
**Вероятности попадания по выстрелам:**
1. Первый выстрел: 0,7
2. Второй выстрел: 0,6
3. Третий выстрел: 0,5
4. Четвертый выстрел: 0,4
Теперь мы можем рассчитать:
1. **Вероятность попадания 4 раза:**
\[
P(4) = P(1) \cdot P(2) \cdot P(3) \cdot P(4) = 0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4
\]
\[
P(4) = 0,084
\]
2. **Вероятность попадания 3 раза:**
Для того чтобы попасть 3 раза, может быть 4 варианта:
- Попал в 1, 2, 3 - промах в 4.
- Попал в 1, 2, 4 - промах в 3.
- Попал в 1, 3, 4 - промах в 2.
- Попал в 2, 3, 4 - промах в 1.
Выражение для расчета:
\[
P(3) = (0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4) + (0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,5)) + (0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,6)) + (0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,7))
\]
Расчитаем каждую комбинацию:
- Попали 1, 2, 3: \(0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,6\)
- Попали 1, 2, 4: \(0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,5\)
- Попали 1, 3, 4: \(0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,6\)
- Попали 2, 3, 4: \(0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,7\)
С сложением вот так:
\[
P(3) = (0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,6) + (0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,5) + (0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,6) + (0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,7)
\]
Зная вероятности и перемножив, можно устранить задачи.
Согласно анализа,
\[
P(3) \approx 0,282
\]
3. **Вероятность попадания не менее 3 раз**:
\[
P(3 \text{ или } 4) = P(3) + P(4)
\]
\[
P(\text{не менее 3}) = 0,282 + 0,084 = 0,366
\]
### Задача 2
В каждой коробке:
- Коробка 1: 20 конденсаторов, из них 2 неисправных.
- Коробка 2: 10 конденсаторов, из них 3 неисправных.
**а) Найти вероятность того, что случайно выбранный конденсатор годен к использованию.**
Для этого используем формулу полной вероятности:
\[
P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)
\]
где \(A\) — выбран годный конденсатор, \(B_1\) и \(B_2\) — события выбора коробки 1 и 2 соответственно.
Пусть:
- \(P(B_1) = 0,5\) (выбираем коробку 1).
- \(P(B_2) = 0,5\) (выбираем коробку 2).
- \(P(A|B_1) = \frac{18}{20} = 0,9\) (годные в коробке 1).
- \(P(A|B_2) = \frac{7}{10} = 0,7\) (годные в коробке 2).
Теперь подставим:
\[
P(A) = 0,9 \cdot 0,5 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,45 + 0,35 = 0,8
\]
**б) Найти вероятность, что, если конденсатор оказался годным, он взят из коробки 1.**
Для этого используем теорему Байеса:
\[
P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) P(B_1)}{P(A)}
\]
Подставим значения:
\[
P(B_1|A) = \frac{0,9 \cdot 0,5}{0,8} = \frac{0,45}{0,8} = 0,5625
\]
Таким образом, решив обе задачи, мы получили вероятности попадания в цель и вероятность использования конденсатора.
