Площадь прямоугольного треугольника 180 см*. Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \). Из условий задачи у нас есть два уравнения: 1. Площадь треугольника: \[ \frac{1}{2}ab = 180 \] Отсюда: \[ ab = 360 \] 2. Сумма катетов: \[ a + b = 39 \] Теперь мы можем решить систему уравнений. Подставим \( b \) из второго уравнения в первое: \[ b = 39 - a \] Теперь подставим это значение в уравнение для площади: \[ a(39 - a) = 360 \] Раскроем скобки: \[ 39a - a^2 = 360 \] Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ a^2 - 39a + 360 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискретного discriminant (D): \[ D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-(-39) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{39 \pm 9}{2} \] Решим для двух случаев: 1. \( a = \frac{39 + 9}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) 2. \( a = \frac{39 - 9}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) Теперь найдем соответствующие значения \( b \): 1. Если \( a = 24 \), то \( b = 39 - 24 = 15 \). 2. Если \( a = 15 \), то \( b = 39 - 15 = 24 \). Таким образом, катеты треугольника равны \( 15 \) см и \( 24 \) см.