Площадь прямоугольного треугольника 180 см*. Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \).

Из условий задачи у нас есть два уравнения:

1. Площадь треугольника: \[ \frac{1}{2}ab = 180 \] Отсюда: \[ ab = 360 \]

2. Сумма катетов: \[ a + b = 39 \]

Теперь мы можем решить систему уравнений. Подставим \( b \) из второго уравнения в первое:

\[ b = 39 - a \]

Теперь подставим это значение в уравнение для площади:

\[ a(39 - a) = 360 \]

Раскроем скобки:

\[ 39a - a^2 = 360 \]

Перепишем уравнение в стандартном виде:

\[ a^2 - 39a + 360 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискретного discriminant (D):

\[ D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ a = \frac{-(-39) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{39 \pm 9}{2} \]

Решим для двух случаев:

1. \( a = \frac{39 + 9}{2} = \frac{48}{2} = 24 \)
2. \( a = \frac{39 - 9}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( b \):

1. Если \( a = 24 \), то \( b = 39 - 24 = 15 \).
2. Если \( a = 15 \), то \( b = 39 - 15 = 24 \).

Таким образом, катеты треугольника равны \( 15 \) см и \( 24 \) см.