Сумма и первых членов арифметической прогрессии 1Запишите формулу, по которой можно найти сумму и первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и последний…

Давайте рассмотрим вашу задачу по шагам.

1. Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии (АП) может быть найдена по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где:

• \( S_n \) – сумма первых \( n \) членов,
• \( a_1 \) – первый член прогрессии,
• \( a_n \) – последний (n-й) член прогрессии,
• \( n \) – количество членов.

2. Формула для суммы первых \( n \) членов, когда известен первый член и разность

Если известны первый член \( a_1 \) и разность \( d \), тогда сумма первых \( n \) членов вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d) \]

где:

• \( d \) – разность прогрессии.

3. Сумма шести первых членов (с определёнными условиями)

Даны:

• \( a_1 = 12 \)
• \( a_4 = 26 \)

Сначала найдём разность \( d \): \[ a_4 = a_1 + 3d \implies 26 = 12 + 3d \implies 3d = 14 \implies d = \frac{14}{3} \approx 4.67 \]

Теперь найдем сумму первых 6 членов:

Для начала находим \( a_6 \): \[ a_6 = a_1 + 5d = 12 + 5 \cdot \frac{14}{3} = 12 + \frac{70}{3} = 12 + 23.33 \approx 35.33 \]

Сумма: \[ S_6 = \frac{6}{2} \cdot (12 + 35.33) = 3 \cdot 47.33 \approx 142 \]

4. Сумма пяти первых членов, если \( a_1 = -3, d = 5 \)

Для нахождения суммы используем формулу: \[ S_5 = \frac{5}{2} (2a_1 + (n - 1)d) = \frac{5}{2} (2 \cdot (-3) + 4 \cdot 5) = \frac{5}{2} (-6 + 20) = \frac{5}{2} \cdot 14 = 35 \]

5. Найдите два первых члена прогрессии

Дана формула: \[ S_n = n^2 - 2n \] Для нахождения первого члена и разности используем: \[ S_1 = a_1 \implies a_1 = S_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 \] \[ S_2 = a_1 + a_2 \implies a_2 = S_2 - a_1 = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 - 1 = -1 \]

Таким образом:

• \( a_1 = -1 \)
• Разность можно найти по формуле \( d = a_2 - a_1 = 0 \) (разность 0 говорит о том, что в прогрессии все члены одинаковы).

6. Сумма натуральных чисел, кратных 3 и меньше 25

Натуральные числа, кратные 3, которые меньше 25: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.

Число членов \( n = 8 \): \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{8}{2} \cdot (3 + 24) = 4 \cdot 27 = 108 \]

7. Сумма 19 первых членов, если \( a_1 = 20 \)

Для любой АП, которая начинается с \( a_1 \): \[ S_{19} = \frac{19}{2} \cdot (2 \cdot 20 + 18d) \] При отсутствующей информации о \( d \), подставим \( d = 0 \) (например, если это постоянная прогрессия): \[ S_{19} = \frac{19}{2} \cdot (2 \cdot 20) = \frac{19}{2} \cdot 40 = 19 \cdot 20 = 380 \]

Если есть дополнительные уточнения по задачам, пожалуйста, дайте знать!