Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=1/х+2 на отрезке [2;4)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(y = \frac{1}{x} + 2\) на отрезке \([2; 4)\), выполним следующие шаги: ### Шаг 1: Определение функции Рассматриваем функцию: \[ y = \frac{1}{x} + 2 \] Эта функция содержит дробь, и мы увидим, как она изменяется на заданном отрезке. ### Шаг 2: Исследование поведения функции на отрезке Отрезок, который нас интересует, это \([2; 4)\). Заметим, что это включает число 2 и число 4, но 4 в отрезке не включается. ### Шаг 3: Вычисление значений функции на границах отрезка 1. Подставим значение \(x = 2\): \[ y(2) = \frac{1}{2} + 2 = 0.5 + 2 = 2.5 \] 2. Теперь вычислим значение функции, когда \(x\) стремится к 4 (но 4 не входит в отрезок): \[ \lim_{x \to 4^-} y(x) = \frac{1}{4} + 2 = 0.25 + 2 = 2.25 \] ### Шаг 4: Анализ изменения функции Теперь важно выяснить, как функция изменяется на данном отрезке. Поскольку функция \(y = \frac{1}{x}\) является убывающей в области \(x > 0\), значение функции будет уменьшаться при увеличении \(x\). ### Шаг 5: Определение наибольшего и наименьшего значений - На границе \(x = 2\) функция равна \(2.5\). - При \(x\) стремящемся к \(4\), функция приближается к \(2.25\). Так как функция убывает на данном отрезке, наибольшее значение будет при \(x = 2\), а наименьшее значение приближается к \(2.25\) при \(x \to 4\). ### Результаты - **Наибольшее значение функции** на отрезке \([2; 4)\): \(2.5\) (при \(x = 2\)). - **Наименьшее значение функции** на отрезке \([2; 4)\): \(2.25\) (при \(x \to 4\)). Таким образом, можно заключить, что: - Наибольшее значение: \(2.5\) - Наименьшее значение: \(2.25\) (значение, к которому стремится функция, но не достигает).