решите уравнение: 5x+14/x²-4=x²/x²-4
Решим уравнение:
\[ \frac{5x + 14}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4} \]
Шаг 1: Упростим уравнение
Обе стороны уравнения имеют общий знаменатель \(x^2 - 4\). Для того чтобы избавиться от дробей, мы можем умножить обе стороны на \(x^2 - 4\) (при условии \(x^2 - 4 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\)):
\[ 5x + 14 = x^2 \]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]
Шаг 3: Найдем дискриминант
Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -14\). Сначала найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2} \]
Теперь посчитаем оба корня:
Первый корень: \[ x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Шаг 5: Проверим корни на допустимость
Не забываем, что \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\). Поскольку один из корней равен \(-2\), он не подходит, так как он делает знаменатель равным нулю.
Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является:
\[ \boxed{7} \]
