Решите уравнение: 5x+14/x²-4=x²/x²-4

Решим уравнение: \[ \frac{5x + 14}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4} \] ### Шаг 1: Упростим уравнение Обе стороны уравнения имеют общий знаменатель \(x^2 - 4\). Для того чтобы избавиться от дробей, мы можем умножить обе стороны на \(x^2 - 4\) (при условии \(x^2 - 4 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\)): \[ 5x + 14 = x^2 \] ### Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \] ### Шаг 3: Найдем дискриминант Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -14\). Сначала найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \] ### Шаг 4: Найдем корни уравнения Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2} \] Теперь посчитаем оба корня: 1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] 2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] ### Шаг 5: Проверим корни на допустимость Не забываем, что \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\). Поскольку один из корней равен \(-2\), он не подходит, так как он делает знаменатель равным нулю. Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является: \[ \boxed{7} \]