реши систему

Давайте рассмотрим данную систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \]

Шаг 1: Анализ уравнений

1. \( x^2 + y^2 = 10 \) — уравнение окружности с радиусом \(\sqrt{10}\).
2. \( x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \) — можно переписать, чтобы упростить решение.

Шаг 2: Преобразование первого уравнения

Рассмотрим уравнение: \[ x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \]

Перепишем: \[ (x^2 - 2x) - (y^2 - 2y) = 0 \]

Чтобы упростить его, выделим полные квадраты: \[ (x - 1)^2 - 1 - ((y - 1)^2 - 1) = 0 \]

Это упростится до: \[ (x - 1)^2 - (y - 1)^2 = 0 \]

А теперь: \[ (x - 1)^2 = (y - 1)^2 \]

Отсюда следует: \[ x - 1 = y - 1 \quad \text{или} \quad x - 1 = -(y - 1) \]

То есть:

1. \(x = y\)
2. \(x + y = 2\)

Шаг 3: Подстановка во второе уравнение

Рассмотрим случаи отдельно.

Случай 1: \(x = y\)

Подставим в окружность: \[ x^2 + x^2 = 10 \]

\[ 2x^2 = 10 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \]

Так как \(x = y\), то: \[ y = \pm \sqrt{5} \]

Получаем пары: \((\sqrt{5}, \sqrt{5})\) и \((- \sqrt{5}, - \sqrt{5})\).

Случай 2: \(x + y = 2\)

Выразим \(y\): \[ y = 2 - x \]

Подставим в окружность: \[ x^2 + (2 - x)^2 = 10 \]

Раскроем скобки: \[ x^2 + (4 - 4x + x^2) = 10 \]

Объединим: \[ 2x^2 - 4x + 4 = 10 \]

Упростим: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

Разделим на 2: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]

Отсюда \(x = 3\) или \(x = -1\).

Если \(x = 3\), то \(y = 2 - 3 = -1\).

Если \(x = -1\), то \(y = 2 - (-1) = 3\).

Решения: \((3, -1)\) и \((-1, 3)\).

Итоговые решения:

1. \((\sqrt{5}, \sqrt{5})\)
2. \((- \sqrt{5}, - \sqrt{5})\)
3. \((3, -1)\)
4. \((-1, 3)\)