Реши систему

Давайте рассмотрим данную систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \] **Шаг 1: Анализ уравнений** 1. \( x^2 + y^2 = 10 \) — уравнение окружности с радиусом \(\sqrt{10}\). 2. \( x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \) — можно переписать, чтобы упростить решение. **Шаг 2: Преобразование первого уравнения** Рассмотрим уравнение: \[ x^2 - y^2 - 2x + 2y = 0 \] Перепишем: \[ (x^2 - 2x) - (y^2 - 2y) = 0 \] Чтобы упростить его, выделим полные квадраты: \[ (x - 1)^2 - 1 - ((y - 1)^2 - 1) = 0 \] Это упростится до: \[ (x - 1)^2 - (y - 1)^2 = 0 \] А теперь: \[ (x - 1)^2 = (y - 1)^2 \] Отсюда следует: \[ x - 1 = y - 1 \quad \text{или} \quad x - 1 = -(y - 1) \] То есть: 1. \(x = y\) 2. \(x + y = 2\) **Шаг 3: Подстановка во второе уравнение** Рассмотрим случаи отдельно. **Случай 1: \(x = y\)** Подставим в окружность: \[ x^2 + x^2 = 10 \] \[ 2x^2 = 10 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \] Так как \(x = y\), то: \[ y = \pm \sqrt{5} \] Получаем пары: \((\sqrt{5}, \sqrt{5})\) и \((- \sqrt{5}, - \sqrt{5})\). **Случай 2: \(x + y = 2\)** Выразим \(y\): \[ y = 2 - x \] Подставим в окружность: \[ x^2 + (2 - x)^2 = 10 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (4 - 4x + x^2) = 10 \] Объединим: \[ 2x^2 - 4x + 4 = 10 \] Упростим: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Отсюда \(x = 3\) или \(x = -1\). Если \(x = 3\), то \(y = 2 - 3 = -1\). Если \(x = -1\), то \(y = 2 - (-1) = 3\). Решения: \((3, -1)\) и \((-1, 3)\). **Итоговые решения:** 1. \((\sqrt{5}, \sqrt{5})\) 2. \((- \sqrt{5}, - \sqrt{5})\) 3. \((3, -1)\) 4. \((-1, 3)\)