У Хрюши в копилке есть отделения для монет каждого вида по 1, 2, 5 и 10 рублей. В некоторый момент выяснилось, что B каждом отделении лежит хотя бы одна монета, при этом нет отделений с равным количеством монет, а вся сумма денег в копилке меньше 100 рублей. Какое наибольшее количество 10-рублёвых монет могло быть в копилке у Хрюши?

Для решения задачи начнем с того, что у Хрюши есть отделения для монет номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей, и в каждом из них хотя бы по одной монете. Также у нас есть следующие данные: 1. В каждом отделении лежит хотя бы одна монета. 2. Нет отделений с равным количеством монет. 3. Общая сумма денег меньше 100 рублей. Обозначим количество монет в отделениях следующим образом: - \(a\) — количество 1-рублевых монет - \(b\) — количество 2-рублевых монет - \(c\) — количество 5-рублевых монет - \(d\) — количество 10-рублевых монет Согласно условию, все \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) должны быть различными и больше нуля: \[ a \neq b \neq c \neq d > 0 \] Сумма денег в копилке будет равна: \[ S = 1 \cdot a + 2 \cdot b + 5 \cdot c + 10 \cdot d \] Наша задача — максимизировать количество 10-рублевых монет \(d\), при этом соблюдая все условия. ### Шаг 1: Определение минимальных значений Поскольку \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) должны быть различными положительными целыми числами, минимальные значения, которые мы можем взять, — это: - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) - \(d = 4\) Такие значения соответствуют местам для 1-рублевых, 2-рублевых, 5-рублевых и 10-рублевых монет. Теперь мы можем посчитать, сколько денег будет у Хрюши в этом случае: \[ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 4 = 1 + 4 + 15 + 40 = 60 \] Это менее 100 рублей, значит, это допустимо. В этом случае максимальное количество 10-рублевых монет \(d = 4\). ### Шаг 2: Попробуем увеличить \(d\) Чтобы увеличить количество 10-рублевых монет, мы можем попробовать взять \(d = 5\), а значит, \(a\), \(b\) и \(c\) должны быть выбраны из оставшихся чисел, не равных 5. Например, можно взять: - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) Тогда сумма будет: \[ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 5 = 1 + 4 + 15 + 50 = 70 \] Это также меньше 100. Теперь попробуем \(d = 6\): - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) Сумма: \[ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 6 = 1 + 4 + 15 + 60 = 80 \] Это тоже меньше 100. Теперь \(d = 7\): - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) Сумма: \[ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 7 = 1 + 4 + 15 + 70 = 90 \] Это также меньше 100. ### Шаг 3: Проверяем \(d = 8\) Теперь пробуем \(d = 8\): - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) Сумма: \[ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 8 = 1 + 4 + 15 + 80 = 100 \] Но это уже 100, и нам нужно меньше. Таким образом, максимальное значение, которое мы получили для \(d\) — это 7. ### Ответ Наибольшее количество 10-рублёвых монет, которое могло быть в копилке у Хрюши, равно **7**.