В числовом наборе десять чисел. Каждое число увеличиться в 2 раза. Как измениться стандартное отклоненное данное набора
Стандартное отклонение — это мера разброса значений в наборе данных. Давайте разберёмся, как оно изменится, если каждое число в наборе увеличится в 2 раза.
Пошаговое объяснение:
Для начала напомним формулу стандартного отклонения. Стандартное отклонение (\( \sigma \)) для набора чисел определяется как:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \]
где:
- \( N \) — количество чисел в наборе,
- \( x_i \) — каждое отдельное число,
- \( \mu \) — среднее арифметическое набора данных.
Изменение набора данных:
Изначальный набор: Пусть у нас есть набор из десяти чисел: \( x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{10} \).
После изменения: В результате увеличения каждого числа в 2 раза, новый набор будет: \( 2x_1, 2x_2, 2x_3, \ldots, 2x_{10} \).
Рассмотрим, как изменится среднее:
Изначальное среднее арифметическое (\( \mu \)) вычисляется так: \[ \mu = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}}{10} \]
После изменения набор будет: \[ \mu' = \frac{2x_1 + 2x_2 + \ldots + 2x_{10}}{10} = 2 \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}}{10} = 2\mu \]
Рассмотрим, как изменится стандартное отклонение:
Теперь вернемся к формуле стандартного отклонения. Для нового набора, вычислим его стандартное отклонение (\( \sigma' \)): \[ \sigma' = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (2x_i - 2\mu)^2} \] Упрощая это выражение: \[ \sigma' = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (2(x_i - \mu))^2} \] \[ = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} 4(x_i - \mu)^2} \] \[ = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \mu)^2} \] \[ = 2 \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \mu)^2} = 2\sigma \]
Итак, вывод:
Когда каждое число в наборе увеличивается в 2 раза, стандартное отклонение также увеличивается в 2 раза. Это значит, что новое стандартное отклонение будет равно \( 2\sigma \), где \( \sigma \) — стандартное отклонение исходного набора значений.
Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как изменение чисел в наборе влияет на стандартное отклонение!
