Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с движением часовой и минутной стрелок на часах.
Шаг 1: Понимание скорости стрелок
Часовая стрелка делает полный оборот (360 градусов) за 12 часов. Следовательно, её скорость:
[
\text{Скорость часовой стрелки} = \frac{360 \text{ градусов}}{12 \text{ часов}} = 30 \text{ градусов в час}.
]
Минутная стрелка делает полный оборот (360 градусов) за 1 час (или 60 минут). Следовательно, её обычная скорость:
[
\text{Скорость минутной стрелки} = \frac{360 \text{ градусов}}{1 \text{ час}} = 360 \text{ градусов в час}.
]
Однако по условию задачи минутная стрелка стала крутиться в 2 раза быстрее:
[
\text{Новая скорость минутной стрелки} = 2 \times 360 \text{ градусов в час} = 720 \text{ градусов в час}.
]
Шаг 2: Отношение скоростей стрелок
Теперь сравним скорости обеих стрелок:
- Скорость часовой стрелки: 30 градусов в час.
- Новая скорость минутной стрелки: 720 градусов в час.
Шаг 3: Относительная скорость
Чтобы найти, с какой скоростью минутная стрелка "нагоняет" часовую, найдем разницу скоростей:
[
\text{Относительная скорость} = 720 \text{ (мин)} - 30 \text{ (ч)} = 690 \text{ градусов в час}.
]
Шаг 4: Угол, который нужно пройти для встречи
Чтобы стрелки встретились, минутной стрелке нужно догнать часовую. В каждом окружении в 360 градусов, минутная стрелка обгоняет часовую стрелку. Для каждой встречи, минутной стрелке нужно проделать 360 градусов.
Шаг 5: Найти количество встреч за сутки
Время, нужное минутной стрелке, чтобы обогнать часовую:
[
t_{\text{встречи}} = \frac{360 \text{ градусов}}{690 \text{ градусов в час}} \approx 0.5217 \text{ часа} \text{ (или около 31.3 минуты).}
]
Чтобы узнать, сколько раз стрелки встретятся за 24 часа, мы находим количество этих временных промежутков в 24 часах:
[
n = \frac{24 \text{ часов}}{0.5217 \text{ часа}} \approx 46 \text{ встреч.}
]
Итак, стрелки встретятся 46 раз за сутки.
Ответ: 46 раз.
