Сторона правильного шестиугольника 𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6 с центром в точке 𝑂 равна 6. Найдите скалярное произведение векторов 𝑂𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝑂𝐴3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…
Сторона правильного шестиугольника 𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6 с центром в точке 𝑂 равна 6. Найдите скалярное произведение векторов 𝑂𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝑂𝐴3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника и определением скалярного произведения.
Шаг 1: Построение правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник может быть представлен в декартовой системе координат. Для удобства пусть его центр \( O \) будет находиться в начале координат (0, 0). Поскольку сторона шестиугольника равна 6, мы можем вычислить координаты вершин:
- \( A_1 = (6, 0) \)
- \( A_2 = (3, 3\sqrt{3}) \)
- \( A_3 = (-3, 3\sqrt{3}) \)
- \( A_4 = (-6, 0) \)
- \( A_5 = (-3, -3\sqrt{3}) \)
- \( A_6 = (3, -3\sqrt{3}) \)
Шаг 2: Определение векторов
Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{OA_1} \), \( \overrightarrow{OA_2} \), \( \overrightarrow{OA_3} \) и \( \overrightarrow{OA_4} \):
- \( \overrightarrow{OA_1} = (6 - 0, 0 - 0) = (6, 0) \)
- \( \overrightarrow{OA_2} = (3 - 0, 3\sqrt{3} - 0) = (3, 3\sqrt{3}) \)
- \( \overrightarrow{OA_3} = (-3 - 0, 3\sqrt{3} - 0) = (-3, 3\sqrt{3}) \)
- \( \overrightarrow{OA_4} = (-6 - 0, 0 - 0) = (-6, 0) \)
Теперь можем записать нужные нам векторы:
\[ \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} = (6, 0) + (3, 3\sqrt{3}) = (6 + 3, 0 + 3\sqrt{3}) = (9, 3\sqrt{3}) \]
\[ \overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} = (-3, 3\sqrt{3}) + (-6, 0) = (-3 - 6, 3\sqrt{3} + 0) = (-9, 3\sqrt{3}) \]
Шаг 3: Скалярное произведение
Теперь найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} \) и \( \overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} \):
\[ (9, 3\sqrt{3}) \cdot (-9, 3\sqrt{3}) = 9 \cdot (-9) + 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \]
Вычислим каждую часть:
- \( 9 \cdot (-9) = -81 \)
- \( 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27 \)
Теперь сложим результаты:
\[ -81 + 27 = -54 \]
Ответ
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} \) и \( \overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} \) равно \( -54 \).
Обсуждение
2 сообщенияможно ли решить самому данную задачу без рисунка?
Да, задачу можно решить без рисунка, используя свойства правильного шестиугольника и математические вычисления.
1. Понимание правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник имеет следующие свойства:
- Все стороны равны.
- Все углы равны.
- Векторы, идущие от центра шестиугольника к его вершинам, равны по длине и направлены в разные стороны с равными углами между ними.
Сторона шестиугольника в вашей задаче равна 6, поэтому расстояние от центра \( O \) до любой из вершин (\( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 \)) равно 6.
2. Определение векторов
Запишем векторы, которые вас интересуют:
- \( \vec{OA_1} \) и \( \vec{OA_2} \): эти векторы направлены от центра шестиугольника к вершинам \( A_1 \) и \( A_2 \).
- \( \vec{OA_3} \) и \( \vec{OA_4} \): аналогично, эти векторы направлены к вершинам \( A_3 \) и \( A_4 \).
Поскольку шестиугольник симметричен и каждую из этих пар векторов можно представить как векторы с равными углами между ними, можно использовать их угловые диаграммы.
3. Скалярное произведение
Мы можем использовать формулу для скалярного произведения векторов. Если \( \vec{u} = (x_1, y_1) \) и \( \vec{v} = (x_2, y_2) \), то скалярное произведение определяется как:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]
Пусть:
- \( \vec{OA_1} = (6, 0) \)
- \( \vec{OA_2} \equiv (3, 3\sqrt{3}) \)
- \( \vec{OA_3} \equiv (-3, 3\sqrt{3}) \)
- \( \vec{OA_4} \equiv (-6, 0) \)
Сложим векторы:
\[ \vec{OA_1} + \vec{OA_2} = (6 + 3, 0 + 3\sqrt{3}) = (9, 3\sqrt{3}) \]
\[ \vec{OA_3} + \vec{OA_4} = (-3 - 6, 3\sqrt{3} + 0) = (-9, 3\sqrt{3}) \]
Теперь, находя скалярное произведение \( (9, 3\sqrt{3}) \) и \( (-9, 3\sqrt{3}) \):
\[ 9 \cdot (-9) + 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = -81 + 27 = -54 \]
Заключение
Таким образом, вы можете решить задачу без рисунка, просто следуя описанным математическим шагам. Главное — это использовать свойства правильного шестиугольника и формулы для векторов и скалярного произведения.
