Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника и определением скалярного произведения.
Шаг 1: Построение правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник может быть представлен в декартовой системе координат. Для удобства пусть его центр ( O ) будет находиться в начале координат (0, 0). Поскольку сторона шестиугольника равна 6, мы можем вычислить координаты вершин:
- ( A_1 = (6, 0) )
- ( A_2 = (3, 3\sqrt{3}) )
- ( A_3 = (-3, 3\sqrt{3}) )
- ( A_4 = (-6, 0) )
- ( A_5 = (-3, -3\sqrt{3}) )
- ( A_6 = (3, -3\sqrt{3}) )
Шаг 2: Определение векторов
Теперь найдем векторы ( \overrightarrow{OA_1} ), ( \overrightarrow{OA_2} ), ( \overrightarrow{OA_3} ) и ( \overrightarrow{OA_4} ):
- ( \overrightarrow{OA_1} = (6 - 0, 0 - 0) = (6, 0) )
- ( \overrightarrow{OA_2} = (3 - 0, 3\sqrt{3} - 0) = (3, 3\sqrt{3}) )
- ( \overrightarrow{OA_3} = (-3 - 0, 3\sqrt{3} - 0) = (-3, 3\sqrt{3}) )
- ( \overrightarrow{OA_4} = (-6 - 0, 0 - 0) = (-6, 0) )
Теперь можем записать нужные нам векторы:
[
\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} = (6, 0) + (3, 3\sqrt{3}) = (6 + 3, 0 + 3\sqrt{3}) = (9, 3\sqrt{3})
]
[
\overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} = (-3, 3\sqrt{3}) + (-6, 0) = (-3 - 6, 3\sqrt{3} + 0) = (-9, 3\sqrt{3})
]
Шаг 3: Скалярное произведение
Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} ) и ( \overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} ):
[
(9, 3\sqrt{3}) \cdot (-9, 3\sqrt{3}) = 9 \cdot (-9) + 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}
]
Вычислим каждую часть:
- ( 9 \cdot (-9) = -81 )
- ( 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27 )
Теперь сложим результаты:
[
-81 + 27 = -54
]
Ответ
Таким образом, скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} ) и ( \overrightarrow{OA_3} + \overrightarrow{OA_4} ) равно ( -54 ).
