Для решения задачи используем формулы движения, связанную со скоростью, временем и расстоянием. Давайте обозначим скорости и время:
- Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как ( v ) (км/ч).
- Скорость течения реки равна ( 3 ) км/ч.
- Скорость лодки против течения равна ( v - 3 ) км/ч.
- Скорость лодки по течению равна ( v + 3 ) км/ч.
- Расстояние в обоих направлениях составляет ( 72 ) км.
Теперь давайте обозначим время, затраченное на путь против течения, как ( t ) (часы). Тогда время на обратный путь (по течению) будет равно ( t - 2 ) часа, так как на обратный путь затрачено на 2 часа меньше.
Выражение времени через скорость и расстояние:
Время, затраченное на путь против течения:
[
t = \frac{72}{v - 3}
]
Время, затраченное на путь по течению:
[
t - 2 = \frac{72}{v + 3}
]
Составим уравнение:
Подставим выражение для ( t ) в уравнение для времени обратного пути:
[
\frac{72}{v - 3} - 2 = \frac{72}{v + 3}
]
Умножим обе стороны на ( (v - 3)(v + 3) ), чтобы избавиться от дробей:
[
72(v + 3) - 2(v - 3)(v + 3) = 72(v - 3)
]
Раскроем скобки:
[
72v + 216 - 2(v^2 - 9) = 72v - 216
]
Упростим уравнение:
Сначала упрощаем:
[
72v + 216 - 2v^2 + 18 = 72v - 216
]
Теперь приведём подобные:
[
-2v^2 + 234 = -216
]
Переносим всё в одну сторону:
[
-2v^2 + 234 + 216 = 0
]
Таким образом:
[
-2v^2 + 450 = 0
]
Разделим на -2:
[
v^2 - 225 = 0
]
Решаем квадратное уравнение:
[
v^2 = 225 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{225} \quad \Rightarrow \quad v = 15
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде составляет ( 15 ) км/ч.
Проверка:
Проверим, устраивает ли это условие задачи:
Против течения: скорость лодки = ( 15 - 3 = 12 ) км/ч.
Время в пути против течения:
[
t_1 = \frac{72}{12} = 6 \text{ ч.}
]
По течению: скорость лодки = ( 15 + 3 = 18 ) км/ч.
Время в пути по течению:
[
t_2 = \frac{72}{18} = 4 \text{ ч.}
]
Проверяем разницу во времени:
[
t_1 - t_2 = 6 - 4 = 2 \text{ ч.}
]
Условие задачи выполняется, значит, решение верное!
