Сократи дроби, а затем сравни 7•15•48/25•49•24 и 8•81•59/59•45•16

Для сравнения дробей сначала упростим каждую из них.

Первая дробь:

\[ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} \]

Можно упростить:

• Разложим на множители:
  • \( 15 = 3 \cdot 5 \)
  • \( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \)
  • \( 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
  • \( 25 = 5^2 \)
  • \( 49 = 7^2 \)

Теперь подставим:

\[ \frac{7 \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2^4 \cdot 3)}{(5^2) \cdot (7^2) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \frac{7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 2^4}{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^3 \cdot 3} \]

Упростим дробь, сократив общие множители:

• Убираем \(3\) (один раз в числителе и один раз в знаменателе)
• Убираем \(5\) (один раз в числителе и два раза в знаменателе)
• Убираем \(7\) (один раз в числителе и два раза в знаменателе)
• Убираем \(2^3\) (три раза в знаменателе и оставляем один раз в числителе)

Итак, после упрощения:

\[ \frac{2^1}{5^1 \cdot 7^1} = \frac{2}{35} \]

Теперь переходим ко второй дроби:

\[ \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16} \]

Разложим на множители:

• \( 8 = 2^3 \)
• \( 81 = 3^4 \)
• \( 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \)
• \( 16 = 4^2 = 2^4 \)

Теперь подставим:

\[ \frac{(2^3) \cdot (3^4) \cdot 59}{59 \cdot (3^2 \cdot 5) \cdot (2^4)} = \frac{(2^3) \cdot (3^4)}{(3^2 \cdot 5) \cdot (2^4)} \]

Упростим дробь, сократив общие множители:

• Убираем \(59\) (в числителе и знаменателе)
• Убираем \(3^2\) (в знаменателе два раза и два раза в числителе)
• Убираем \(2^3\) (в числителе три раза и оставляем два раза в знаменателе)

Остается:

\[ \frac{3^2}{5 \cdot 2^1} = \frac{9}{10} \]

Теперь сравним две упрощенные дроби:

\[ \frac{2}{35} \text{ и } \frac{9}{10} \]

Чтобы сравнить их, найдем их значения в десятичном виде:

\[ \frac{2}{35} \approx 0.0571 \] \[ \frac{9}{10} = 0.9 \]

Поскольку \(0.0571 < 0.9\),

можем сделать вывод:

\[ \frac{2}{35} < \frac{9}{10} \]

Таким образом,

\[ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} < \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16}. \]