Сократи дроби, а затем сравни 7•15•48/25•49•24 и 8•81•59/59•45•16

Для сравнения дробей сначала упростим каждую из них. Первая дробь: \[ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} \] Можно упростить: - Разложим на множители: - \( 15 = 3 \cdot 5 \) - \( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \) - \( 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \) - \( 25 = 5^2 \) - \( 49 = 7^2 \) Теперь подставим: \[ \frac{7 \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2^4 \cdot 3)}{(5^2) \cdot (7^2) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \frac{7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 2^4}{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^3 \cdot 3} \] Упростим дробь, сократив общие множители: - Убираем \(3\) (один раз в числителе и один раз в знаменателе) - Убираем \(5\) (один раз в числителе и два раза в знаменателе) - Убираем \(7\) (один раз в числителе и два раза в знаменателе) - Убираем \(2^3\) (три раза в знаменателе и оставляем один раз в числителе) Итак, после упрощения: \[ \frac{2^1}{5^1 \cdot 7^1} = \frac{2}{35} \] Теперь переходим ко второй дроби: \[ \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16} \] Разложим на множители: - \( 8 = 2^3 \) - \( 81 = 3^4 \) - \( 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \) - \( 16 = 4^2 = 2^4 \) Теперь подставим: \[ \frac{(2^3) \cdot (3^4) \cdot 59}{59 \cdot (3^2 \cdot 5) \cdot (2^4)} = \frac{(2^3) \cdot (3^4)}{(3^2 \cdot 5) \cdot (2^4)} \] Упростим дробь, сократив общие множители: - Убираем \(59\) (в числителе и знаменателе) - Убираем \(3^2\) (в знаменателе два раза и два раза в числителе) - Убираем \(2^3\) (в числителе три раза и оставляем два раза в знаменателе) Остается: \[ \frac{3^2}{5 \cdot 2^1} = \frac{9}{10} \] Теперь сравним две упрощенные дроби: \[ \frac{2}{35} \text{ и } \frac{9}{10} \] Чтобы сравнить их, найдем их значения в десятичном виде: \[ \frac{2}{35} \approx 0.0571 \] \[ \frac{9}{10} = 0.9 \] Поскольку \(0.0571 < 0.9\), можем сделать вывод: \[ \frac{2}{35} < \frac{9}{10} \] Таким образом, \[ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} < \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16}. \]