(x-7)(x2 18x 81)=17(x 9).
Давайте решим уравнение \((x - 7)(x^2 + 18x + 81) = 17(x + 9)\) шаг за шагом.
Шаг 1: Раскроем скобки
Первый шаг — раскрыть обе части уравнения. Начнем с левой части:
\[ (x - 7)(x^2 + 18x + 81) \]
Для этого умножим каждое слагаемое в первой скобке на каждое слагаемое во второй скобке:
\[ = x \cdot (x^2 + 18x + 81) - 7 \cdot (x^2 + 18x + 81) \]
Раскрываем:
\[ = x^3 + 18x^2 + 81x - 7x^2 - 126x - 567 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ = x^3 + (18x^2 - 7x^2) + (81x - 126x) - 567 \] \[ = x^3 + 11x^2 - 45x - 567 \]
Теперь используем правую часть уравнения:
\[ 17(x + 9) = 17x + 153 \]
Шаг 2: Сравним обе части
Теперь у нас есть:
\[ x^3 + 11x^2 - 45x - 567 = 17x + 153 \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ x^3 + 11x^2 - 45x - 17x - 567 - 153 = 0 \]
Соберем все подобные слагаемые:
\[ x^3 + 11x^2 - 62x - 720 = 0 \]
Шаг 3: Решение кубического уравнения
Теперь у нас есть кубическое уравнение:
\[ x^3 + 11x^2 - 62x - 720 = 0 \]
Для решения этого уравнения можно попробовать найти корни методом подбора. Начнем с поиска возможных рациональных корней, используя теорему о делителях свободного члена —720.
Проверим, например, \(x = 8\):
\[ 8^3 + 11(8^2) - 62(8) - 720 = 512 + 11(64) - 496 - 720 \] \[ = 512 + 704 - 496 - 720 = 0 \]
Итак, \(x = 8\) является корнем.
Шаг 4: Деление на \(x - 8\)
Теперь проведем деление \(x^3 + 11x^2 - 62x - 720\) на \(x - 8\) с помощью деления многочленов:
Разделим первый член: \[ x^3 \div x = x^2 \]
Умножим \(x^2\) на \(x - 8\): \[ x^2(x - 8) = x^3 - 8x^2 \]
Вычтем: \[ (11x^2 - (-8x^2)) = 19x^2 \]
Следующий член: \[ 19x^2 \div x = 19x \]
Умножим \(19x\) на \(x - 8\): \[ 19x(x - 8) = 19x^2 - 152x \]
Вычтем: \[ (-62x - (-152x)) = 90x \]
Следующий член: \[ 90x \div x = 90 \]
Умножим \(90\) на \(x - 8\): \[ 90(x - 8) = 90x - 720 \]
Убираем и получаем остаток: \[ 0 \]
Таким образом, мы можем представить уравнение как: \[ (x - 8)(x^2 + 19x + 90) = 0 \]
Шаг 5: Найдем остальные корни
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 19x + 90 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1 \]
Корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 1}{2} \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{-18}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10 \]
Итог
Таким образом, все корни уравнения:
\[ x = 8, \quad x = -9, \quad x = -10 \]
Если у вас остались вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!
