Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М (1;-3) и которая проходит через точку В (-2; 5).
Чтобы составить уравнение окружности, нам нужно использовать формулу окружности в аналитической геометрии. Уравнение окружности, центр которой находится в точке \( M(h, k) \), можно записать следующим образом:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
где \( r \) — радиус окружности.
Шаг 1: Определим координаты центра
В данной задаче центр окружности \( M \) имеет координаты \( (1, -3) \). Это значит, что \( h = 1 \) и \( k = -3 \).
Шаг 2: Найдем радиус окружности
Чтобы найти радиус \( r \), нужно определить расстояние от центра окружности до точки \( B \). Координаты точки \( B \) — это \( (-2, 5) \). Расстояние \( r \) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
где \( (x_1, y_1) \) — это координаты центра окружности \( (1, -3) \), а \( (x_2, y_2) \) — координаты точки \( B \) \( (-2, 5) \).
Подставим значения:
\[ r = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (5 - (-3))^2} \]
Посчитаем каждую часть:
Для \( x \): \[ (-2) - 1 = -3 \implies (-3)^2 = 9 \]
Для \( y \): \[ 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \implies 8^2 = 64 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ r = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \]
Шаг 3: Составим уравнение окружности
Теперь, когда у нас есть центр \( M(1, -3) \) и радиус \( r = \sqrt{73} \), мы можем подставить эти значения в уравнение окружности:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{73})^2 \]
Упрощая правую часть, получаем:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 \]
Итог
Таким образом, уравнение окружности, центр которой находится в точке \( M(1, -3) \) и которая проходит через точку \( B(-2, 5) \), имеет вид:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 \]
