Давайте разберем данное уравнение и найдем его решение. Мы имеем два уравнения:
- ( y = x^2 + 8 )
- ( y = -x^2 + 12 )
Это уравнения двух квадратных функций. Мы можем их нарисовать на одной системе координат, чтобы найти точки пересечения, которые будут решением данной системы.
Шаг 1: Найдем точки пересечения
Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части обоих уравнений:
[
x^2 + 8 = -x^2 + 12
]
Теперь решим это уравнение для ( x ).
Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону
Переносим все термины на одну сторону уравнения:
[
x^2 + x^2 + 8 - 12 = 0
]
[
2x^2 - 4 = 0
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Теперь упростим:
[
2x^2 = 4
]
[
x^2 = 2
]
Шаг 4: Извлекаем корни
Теперь найдем корни этого уравнения:
[
x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2}
]
Шаг 5: Найдем соответствующие значения ( y )
Теперь мы можем подставить найденные значения ( x ) в одно из исходных уравнений, чтобы найти ( y ). Лучше подставить в первое уравнение:
- Для ( x = \sqrt{2} ):
[
y = (\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10
]
- Для ( x = -\sqrt{2} ):
[
y = (-\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10
]
Итог
Таким образом, у нас есть две точки пересечения:
- ( (\sqrt{2}, 10) )
- ( (-\sqrt{2}, 10) )
Эти точки являются решениями системы уравнений. Графически они представляют собой точки, в которых парабола ( y = x^2 + 8 ) пересекает параболу ( y = -x^2 + 12 ).
