На пригородной станции вокзала работают два автомата по продаже билетов. Вероятность того, что к концу дня в одном автомате закончится лента для печати билетов, равна 0,25.…

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся основными понятиями теории вероятностей. Давайте обозначим события:

• \(A\): лента закончится в первом автомате.
• \(B\): лента закончится во втором автомате.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• \(P(A) = 0.25\) — вероятность того, что лента закончится в первом автомате.
• \(P(B) = 0.25\) — вероятность того, что лента закончится во втором автомате (у нас нет информации, что вероятности в обоих автоматах отличаются, поэтому предполагаем, что они одинаковы).
• \(P(A \cap B) = 0.08\) — вероятность того, что лента закончится в обоих автоматах одновременно.

Часть а: Вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате

Мы ищем вероятность события "либо в первом автомате, либо во втором, либо в обоих".

Для этого применим правило сложения вероятностей:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.25 + 0.25 - 0.08 \]

\[ P(A \cup B) = 0.50 - 0.08 = 0.42 \]

Ответ на часть а: Вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате, равна 0.42.

Часть б: Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах

Мы ищем вероятность события "лента не закончится в первом автомате и не закончится во втором автомате". Для этого, используя известные вероятности, мы можем определить вероятность противоположных событий.

Сначала найдём:

• Вероятность того, что лента не закончится в первом автомате \(P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75\).
• Вероятность того, что лента не закончится во втором автомате \(P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75\).

Теперь ищем вероятность того, что лента не закончится в обоих автоматах. Поскольку события \(A\) и \(B\) могут наблюдаться как зависимые, будем использовать правило множителей:

\[ P(A' \cap B') = P(A') * P(B | A') \]

Нам нужно найти \(P(B | A')\). Используем формулу условной вероятности:

\[ P(B | A') = \frac{P(A' \cap B)}{P(A')} \]

Мы знаем \(P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\), следовательно:

\[ P(A' \cap B) = 0.25 - 0.08 = 0.17 \]

Теперь найдем:

\[ P(A') = 0.75 \]

Подставим в формулу:

\[ P(B | A') = \frac{0.17}{0.75} \approx 0.2267 \]

В итоге получаем:

\[ P(A' \cap B') = P(A') * P(B | A') = 0.75 * 0.2267 \approx 0.1700 \]

Но проще в данном случае просто воспользоваться общей вероятностью того, что актив будет как дальше, так и с начало в обоих:

\[ P(A' \cap B') = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - 0.42 = 0.58 \]

Ответ на часть б: Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах и пассажир сможет купить билет, равна 0.58.