Чтобы решить эту задачу, воспользуемся основными понятиями теории вероятностей. Давайте обозначим события:
- (A): лента закончится в первом автомате.
- (B): лента закончится во втором автомате.
Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
- (P(A) = 0.25) — вероятность того, что лента закончится в первом автомате.
- (P(B) = 0.25) — вероятность того, что лента закончится во втором автомате (у нас нет информации, что вероятности в обоих автоматах отличаются, поэтому предполагаем, что они одинаковы).
- (P(A \cap B) = 0.08) — вероятность того, что лента закончится в обоих автоматах одновременно.
Часть а: Вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате
Мы ищем вероятность события "либо в первом автомате, либо во втором, либо в обоих".
Для этого применим правило сложения вероятностей:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Теперь подставим известные значения:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.25 + 0.25 - 0.08
]
[
P(A \cup B) = 0.50 - 0.08 = 0.42
]
Ответ на часть а: Вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате, равна 0.42.
Часть б: Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах
Мы ищем вероятность события "лента не закончится в первом автомате и не закончится во втором автомате". Для этого, используя известные вероятности, мы можем определить вероятность противоположных событий.
Сначала найдём:
- Вероятность того, что лента не закончится в первом автомате (P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75).
- Вероятность того, что лента не закончится во втором автомате (P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75).
Теперь ищем вероятность того, что лента не закончится в обоих автоматах. Поскольку события (A) и (B) могут наблюдаться как зависимые, будем использовать правило множителей:
[
P(A' \cap B') = P(A') * P(B | A')
]
Нам нужно найти (P(B | A')). Используем формулу условной вероятности:
[
P(B | A') = \frac{P(A' \cap B)}{P(A')}
]
Мы знаем (P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)), следовательно:
[
P(A' \cap B) = 0.25 - 0.08 = 0.17
]
Теперь найдем:
[
P(A') = 0.75
]
Подставим в формулу:
[
P(B | A') = \frac{0.17}{0.75} \approx 0.2267
]
В итоге получаем:
[
P(A' \cap B') = P(A') * P(B | A') = 0.75 * 0.2267 \approx 0.1700
]
Но проще в данном случае просто воспользоваться общей вероятностью того, что актив будет как дальше, так и с начало в обоих:
[
P(A' \cap B') = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - 0.42 = 0.58
]
Ответ на часть б: Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах и пассажир сможет купить билет, равна 0.58.
