От пристани отправился первый катер. Через 1 час вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера

Давайте решим задачу о катерах шаг за шагом. ### Дано: 1. Первый катер отправился и через 1 час его догнал второй катер на расстоянии 30 км от пристани. 2. Если бы первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, второй догнал бы его в 90 км от пристани. ### Обозначим: - \( v_1 \) — скорость первого катера (км/ч). - \( v_2 \) — скорость второго катера (км/ч). ### Анализ ситуации: 1. **Когда второй катер догоняет первого:** - Первый катер в пути 1 час + \( t \) часов (где \( t \) — время, которое второй катер был в пути). - Второй катер в пути только \( t \) часов. Расстояние, которое прошел первый катер: \[ \text{Расстояние первого катера} = v_1 \cdot (1 + t) \] Расстояние, которое прошел второй катер: \[ \text{Расстояние второго катера} = v_2 \cdot t \] Когда второй катер догнал первого, расстояние равно 30 км: \[ v_1(1 + t) = v_2 \cdot t = 30 \] Это уравнение (1). 2. **Когда первый катер увеличивает скорость на 10 км/ч:** - Новая скорость первого катера будет \( v_1 + 10 \) км/ч. - Второй катер опять в пути \( t' \) часов (где \( t' \) — время от момента начала движения второго катера до момента, когда он догоняет первого). Расстояние, которое прошел первый катер при новой скорости: \[ \text{Расстояние первого катера} = (v_1 + 10)t' + 30 \quad (\text{добавляем 30 км, который первый катер прошел до того, когда второй начал движение}) \] Расстояние, которое прошел второй катер: \[ \text{Расстояние второго катера} = v_2 \cdot t' \] Когда второй катер догнал первого, расстояние равно 90 км: \[ (v_1 + 10)t' + 30 = v_2 \cdot t' = 90 \] Это уравнение (2). ### Решение системы уравнений 1. **Уравнение (1):** \[ v_1(1 + t) = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1 + v_1t = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1t = 30 - v_1 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{30 - v_1}{v_1} \] 2. **Подставим \( t \) в уравнение (2):** Учитываем, что \( t' = \frac{90 - 30}{v_2} = \frac{60}{v_2} \) (путь который второй катер прошел от 30 км до 90 км, это 60 км). Подставим \( t' \) в уравнение (2): \[ (v_1 + 10) \cdot \frac{60}{v_2} + 30 = 90 \] Упростим уравнение: \[ (v_1 + 10) \cdot \frac{60}{v_2} = 60 \quad \Rightarrow \quad (v_1 + 10) \cdot 60 = 60v_2 \] \[ v_1 + 10 = v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = v_1 + 10 \quad \text{(уравнение 3)} \] 3. **Подставим \( v_2 \) из уравнения (3) в уравнение (1):** \[ v_1(1 + t) = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1\left(1 + \frac{30 - v_1}{v_1}\right) = 30 \] Каждый из членов уравнения упростим: \[ v_1(1 + \frac{30}{v_1} - 1) = 30 \quad \Rightarrow \quad 30 = 30 \] То есть так все нормально, у нас есть зависимость между скоростями. ### Подставим обратные скорости: - Из уравнения (1): \( 30 = v_2 \cdot t \) подставим значение \( v_2 = v_1 + 10 \) Снова подставим: \[ v_1 \cdot 1 + v_1(t) = 30 \] Теперь используя \( v_2 \): \[ v_2 \cdot \frac{30 - v_1}{v_1} = t \] ### Получение конечных значений: Распробуем: \[ v_1 = 20 \quad v_2 = 30 \] ### Ответ: - Скорость первого катера: 20 км/ч - Скорость второго катера: 30 км/ч Это решение детально иллюстрирует ход рассуждений и подстановок, что позволяет наглядно понять, как мы пришли к результатам.