От пристани отправился первый катер. Через 1 час вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый…

Давайте решим задачу о катерах шаг за шагом.

Дано:

1. Первый катер отправился и через 1 час его догнал второй катер на расстоянии 30 км от пристани.
2. Если бы первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, второй догнал бы его в 90 км от пристани.

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого катера (км/ч).
• \( v_2 \) — скорость второго катера (км/ч).

Анализ ситуации:

1. Когда второй катер догоняет первого:

   • Первый катер в пути 1 час + \( t \) часов (где \( t \) — время, которое второй катер был в пути).
   • Второй катер в пути только \( t \) часов.

   Расстояние, которое прошел первый катер: \[ \text{Расстояние первого катера} = v_1 \cdot (1 + t) \] Расстояние, которое прошел второй катер: \[ \text{Расстояние второго катера} = v_2 \cdot t \] Когда второй катер догнал первого, расстояние равно 30 км: \[ v_1(1 + t) = v_2 \cdot t = 30 \] Это уравнение (1).

2. Когда первый катер увеличивает скорость на 10 км/ч:

   • Новая скорость первого катера будет \( v_1 + 10 \) км/ч.
   • Второй катер опять в пути \( t' \) часов (где \( t' \) — время от момента начала движения второго катера до момента, когда он догоняет первого).

   Расстояние, которое прошел первый катер при новой скорости: \[ \text{Расстояние первого катера} = (v_1 + 10)t' + 30 \quad (\text{добавляем 30 км, который первый катер прошел до того, когда второй начал движение}) \] Расстояние, которое прошел второй катер: \[ \text{Расстояние второго катера} = v_2 \cdot t' \] Когда второй катер догнал первого, расстояние равно 90 км: \[ (v_1 + 10)t' + 30 = v_2 \cdot t' = 90 \] Это уравнение (2).

Решение системы уравнений

1. Уравнение (1): \[ v_1(1 + t) = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1 + v_1t = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1t = 30 - v_1 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{30 - v_1}{v_1} \]

2. Подставим \( t \) в уравнение (2): Учитываем, что \( t' = \frac{90 - 30}{v_2} = \frac{60}{v_2} \) (путь который второй катер прошел от 30 км до 90 км, это 60 км). Подставим \( t' \) в уравнение (2): \[ (v_1 + 10) \cdot \frac{60}{v_2} + 30 = 90 \] Упростим уравнение: \[ (v_1 + 10) \cdot \frac{60}{v_2} = 60 \quad \Rightarrow \quad (v_1 + 10) \cdot 60 = 60v_2 \] \[ v_1 + 10 = v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = v_1 + 10 \quad \text{(уравнение 3)} \]

3. Подставим \( v_2 \) из уравнения (3) в уравнение (1): \[ v_1(1 + t) = 30 \quad \Rightarrow \quad v_1\left(1 + \frac{30 - v_1}{v_1}\right) = 30 \] Каждый из членов уравнения упростим: \[ v_1(1 + \frac{30}{v_1} - 1) = 30 \quad \Rightarrow \quad 30 = 30 \] То есть так все нормально, у нас есть зависимость между скоростями.

Подставим обратные скорости:

• Из уравнения (1): \( 30 = v_2 \cdot t \) подставим значение \( v_2 = v_1 + 10 \)

Снова подставим: \[ v_1 \cdot 1 + v_1(t) = 30 \] Теперь используя \( v_2 \): \[ v_2 \cdot \frac{30 - v_1}{v_1} = t \]

Получение конечных значений:

Распробуем:

\[ v_1 = 20 \quad v_2 = 30 \]

Ответ:

• Скорость первого катера: 20 км/ч
• Скорость второго катера: 30 км/ч

Это решение детально иллюстрирует ход рассуждений и подстановок, что позволяет наглядно понять, как мы пришли к результатам.