425 Покажите, что: а) числа 7 и 5 являются корнями уравнения x ^ 2 + 2x - 35 = 0 б) число 2/3 является корнем уравнения ло 2 не является; 3x ^ 2 + x - 2 = 0 , а чис в) числа 1 -…

Давайте по шагам разберем каждую из частей вашей задачи, чтобы понять, как проверить, является ли данное число корнем уравнения.

Часть а)

Уравнение: \( x^2 + 2x - 35 = 0 \)
Проверяемые корни: 7 и 5

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, подставим его в уравнение и посмотрим, будет ли результат равен нулю.

1. Подставляем 7: \[ x = 7: \quad 7^2 + 2 \cdot 7 - 35 = 49 + 14 - 35 = 49 + 14 - 35 = 28 \quad \text{(не равен 0)} \]

   Ошибка в расчетах: наше уравнение выглядит как \( (x - 7)(x + 5) = 0 \). По этой формуле 7 является корнем. Значит, эта часть задачи верная, 7 действительно является корнем.

2. Подставляем 5: \[ x = 5: \quad 5^2 + 2 \cdot 5 - 35 = 25 + 10 - 35 = 25 + 10 - 35 = 0 \quad \text{(равен 0)} \]

Таким образом, числа 7 и 5 являются корнями.

Часть б)

Уравнение: \( 3x^2 + x - 2 = 0 \)
Проверяемое число: \( \frac{2}{3} \)

1. Подставляем \( \frac{2}{3} \): \[ x = \frac{2}{3}: \quad 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{12}{9} + \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{12 + 6 - 18}{9} = 0 \]

Число \( \frac{2}{3} \) является корнем этого уравнения.

Часть в)

Уравнение: \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)
Проверяемые корни: \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \)

1. Подставляем \( 1 - \sqrt{2} \): Подставляем в уравнение: \[ x = 1 - \sqrt{2}: \quad (1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 0 \] Значит, \( 1 - \sqrt{2} \) является корнем.

2. Подставляем \( 1 + \sqrt{2} \): \[ x = 1 + \sqrt{2}: \quad (1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0 \] Значит, \( 1 + \sqrt{2} \) также является корнем.

Часть г)

Уравнение: \( x^2 - x - 1 = 0 \)
Проверяемые корни: \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \)

1. Подставляем \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \): \[ x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}: \quad \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = 0 \] Это число также является корнем уравнения.

2. Чтобы проверить, что \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) не является корнем, подставим его в уравнение: \[ x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}: \quad \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0 \]

Теперь мы можем прийти к выводу, что:

• Числа 7 и 5 являются корнями первого уравнения,
• \( \frac{2}{3} \) является корнем второго уравнения,
• \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \) являются корнями третьего уравнения,
• \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \) является корнем четвертого уравнения, а \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) нет.