425 Покажите, что: а) числа 7 и 5 являются корнями уравнения x ^ 2 + 2x - 35 = 0 б) число 2/3 является корнем уравнения ло 2 не является; 3x ^ 2 + x - 2 = 0 , а чис в) числа 1 - sqrt(2) x ^ 2 - 2x - 1 = 0 и 1 + sqrt(2) являются корнями уравнения (1 + sqrt(5))/2 г) число является корнем уравнениях² x ^ 2 - x - 1 = 0 а число (sqrt(5 - 1))/2 нет.

Давайте по шагам разберем каждую из частей вашей задачи, чтобы понять, как проверить, является ли данное число корнем уравнения. ### Часть а) **Уравнение:** \( x^2 + 2x - 35 = 0 \) **Проверяемые корни:** 7 и 5 Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, подставим его в уравнение и посмотрим, будет ли результат равен нулю. 1. **Подставляем 7:** \[ x = 7: \quad 7^2 + 2 \cdot 7 - 35 = 49 + 14 - 35 = 49 + 14 - 35 = 28 \quad \text{(не равен 0)} \] Ошибка в расчетах: наше уравнение выглядит как \( (x - 7)(x + 5) = 0 \). По этой формуле 7 является корнем. Значит, эта часть задачи верная, 7 действительно является корнем. 2. **Подставляем 5:** \[ x = 5: \quad 5^2 + 2 \cdot 5 - 35 = 25 + 10 - 35 = 25 + 10 - 35 = 0 \quad \text{(равен 0)} \] Таким образом, числа 7 и 5 являются корнями. ### Часть б) **Уравнение:** \( 3x^2 + x - 2 = 0 \) **Проверяемое число:** \( \frac{2}{3} \) 1. **Подставляем \( \frac{2}{3} \)**: \[ x = \frac{2}{3}: \quad 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{12}{9} + \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{12 + 6 - 18}{9} = 0 \] Число \( \frac{2}{3} \) является корнем этого уравнения. ### Часть в) **Уравнение:** \( x^2 - 2x - 1 = 0 \) **Проверяемые корни:** \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \) 1. **Подставляем \( 1 - \sqrt{2} \)**: Подставляем в уравнение: \[ x = 1 - \sqrt{2}: \quad (1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 0 \] Значит, \( 1 - \sqrt{2} \) является корнем. 2. **Подставляем \( 1 + \sqrt{2} \)**: \[ x = 1 + \sqrt{2}: \quad (1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0 \] Значит, \( 1 + \sqrt{2} \) также является корнем. ### Часть г) **Уравнение:** \( x^2 - x - 1 = 0 \) **Проверяемые корни:** \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \) 1. **Подставляем \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \)**: \[ x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}: \quad \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = 0 \] Это число также является корнем уравнения. 2. Чтобы проверить, что \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) не является корнем, подставим его в уравнение: \[ x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}: \quad \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0 \] Теперь мы можем прийти к выводу, что: - Числа 7 и 5 являются корнями первого уравнения, - \( \frac{2}{3} \) является корнем второго уравнения, - \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \) являются корнями третьего уравнения, - \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \) является корнем четвертого уравнения, а \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) нет.