х-4/х-5 + х-6/х+5 = 2
Давайте разберём данное уравнение шаг за шагом.
Уравнение: \[ \frac{x - 4}{x - 5} + \frac{x - 6}{x + 5} = 2 \]
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Общий знаменатель для дробей \(\frac{x - 4}{x - 5}\) и \(\frac{x - 6}{x + 5}\) будет равен произведению их знаменателей: \[ (x - 5)(x + 5) \]
Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю
Теперь преобразуем каждую дробь с учетом общего знаменателя.
Для первой дроби: \[ \frac{x - 4}{x - 5} = \frac{(x - 4)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} \]
Для второй дроби: \[ \frac{x - 6}{x + 5} = \frac{(x - 6)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} \]
Шаг 3: Объединим дроби
Теперь у нас есть: \[ \frac{(x - 4)(x + 5) + (x - 6)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 2 \]
Принимаем только числитель и приравниваем его к правой части уравнения, умноженной на общий знаменатель: \[ (x - 4)(x + 5) + (x - 6)(x - 5) = 2(x - 5)(x + 5) \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки в числителе:
- \( (x - 4)(x + 5) = x^2 + 5x - 4x - 20 = x^2 + x - 20 \)
- \( (x - 6)(x - 5) = x^2 - 5x - 6x + 30 = x^2 - 11x + 30 \)
Теперь комбинируем:
\[ x^2 + x - 20 + x^2 - 11x + 30 = 2(x - 5)(x + 5) \] Соберём все элементы числителя: \[ 2x^2 - 10x + 10 \]
Для правой части уравнения:
\[ 2(x - 5)(x + 5) = 2(x^2 - 25) = 2x^2 - 50 \]
Шаг 5: Приравниваем обе части
Теперь у нас есть уравнение: \[ 2x^2 - 10x + 10 = 2x^2 - 50 \]
Убираем \(2x^2\) из обеих сторон: \[ -10x + 10 = -50 \]
Шаг 6: Переносим всё на одну сторону
Теперь приносим все на одну сторону: \[ -10x + 10 + 50 = 0 \Rightarrow -10x + 60 = 0 \]
Шаг 7: Решаем уравнение
Теперь решим уравнение: \[ -10x = -60 \Rightarrow x = 6 \]
Проверка
Теперь подставим \(x = 6\) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно верно: \[ \frac{6 - 4}{6 - 5} + \frac{6 - 6}{6 + 5} = \frac{2}{1} + \frac{0}{11} = 2 + 0 = 2 \] Таким образом, решение верно.
Ответ:
\(x = 6\)
