Давайте решим предложенные системы уравнений по очереди.
Система 1:
Уравнения:
- (3x - 2y = 5)
- (2x + 6y = 10)
Шаг 1: Решим первое уравнение для одного из переменных.
Можно выразить (y) через (x). Из первого уравнения:
[
3x - 2y = 5 \implies -2y = 5 - 3x \implies 2y = 3x - 5 \implies y = \frac{3x - 5}{2}
]
Шаг 2: Подставим (y) во второе уравнение.
Теперь подставим полученное выражение для (y) во второе уравнение:
[
2x + 6\left(\frac{3x - 5}{2}\right) = 10
]
Упростим данное уравнение:
[
2x + 3(3x - 5) = 10
]
[
2x + 9x - 15 = 10
]
[
11x - 15 = 10
]
[
11x = 25 \implies x = \frac{25}{11}
]
Шаг 3: Найдем (y).
Теперь подставим значение (x) обратно в выражение для (y):
[
y = \frac{3\left(\frac{25}{11}\right) - 5}{2} = \frac{\frac{75}{11} - \frac{55}{11}}{2} = \frac{\frac{20}{11}}{2} = \frac{10}{11}
]
Ответ для первой системы:
[
(x, y) = \left(\frac{25}{11}, \frac{10}{11}\right)
]
Система 2:
Уравнения:
- (x + y = 5)
- (2x + 2y = 10)
Шаг 1: Упростим второе уравнение.
Выразим второе уравнение в более простой форме:
[
2x + 2y = 10 \implies x + y = 5
]
Это значит, что оба уравнения в данной системе идентичны.
Шаг 2: Выразим одну переменную через другую.
Из первого уравнения:
[
y = 5 - x
]
Ответ для второй системы:
Система имеет бесконечно много решений, поскольку оба уравнения задают одну и ту же прямую. Решением будет следующая пара:
[
(x, y) = (x, 5 - x), \quad \text{где } x \text{ — любое число.}
]
Итог:
- Первая система: ( \left(\frac{25}{11}, \frac{10}{11}\right) )
- Вторая система: бесконечно много решений ( (x, 5 - x) ).
