Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора Qm =10 нКл, а максимальная сила тока…
Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора Qm =10 нКл, а максимальная сила тока в контуре Im = 1 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Для решения задачи о нахождении длины электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур, начнем с анализа данных, которым мы располагаем.
Дано:
- Максимальный заряд конденсатора: \( Q_m = 10 \, \text{нКл} = 10 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \)
- Максимальная сила тока в контуре: \( I_m = 1 \, \text{А} \)
Шаг 1: Найдем параметры колебательного контура.
В колебательном контуре максимальная зарядка конденсатора и максимальный ток связаны с частотой \( f \) следующим образом:
Максимальный заряд \( Q_m \) в конденсаторе: \[ Q_m = C U_m \] где \( C \) — емкость конденсатора, \( U_m \) — максимальное напряжение.
Максимальный ток \( I_m \) связан с максимальным зарядом и емкостью следующим образом: \[ I_m = C \frac{dU}{dt} \implies I_m = \omega C U_m \] где \( \omega = 2 \pi f \) — угловая частота.
Шаг 2: Установим связь между \( Q_m \) и \( I_m \).
Из вышеуказанных уравнений у нас получится две зависимости:
- Из первого уравнения: \( U_m = \frac{Q_m}{C} \)
- Из второго уравнения подставляем \( U_m \): \[ I_m = C \cdot \omega \cdot \frac{Q_m}{C} \implies I_m = \omega Q_m \]
Теперь представим \( \omega \) в виде: \[ \omega = \frac{I_m}{Q_m} \]
Шаг 3: Найдем частоту \( f \).
Воспользуемся тем, что частота \( f \) связана с угловой частотой \( \omega \) как: \[ \omega = 2 \pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{I_m}{2\pi Q_m} \]
Подставим значения \( I_m \) и \( Q_m \) в уравнение: \[ f = \frac{1 \, \text{А}}{2 \pi \cdot (10 \times 10^{-9} \, \text{Кл})} = \frac{1}{20 \pi \times 10^{-9}} \approx \frac{10^9}{20 \pi} \approx \frac{10^9}{62.83} \approx 15.92 \, \text{МГц} \]
Шаг 4: Найдем длину волны.
Длина волны \( \lambda \) в вакууме может быть найдена по формуле: \[ \lambda = \frac{c}{f} \] где \( c \) — скорость света в вакууме (\( c \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \)).
Теперь подставим значение частоты: \[ \lambda = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{15.92 \times 10^6 \, \text{Гц}} \approx \frac{3 \times 10^8}{15.92 \times 10^6} \approx 18.8 \, \text{м} \]
Таким образом, длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, составляет приблизительно 18.8 метров.
