Для решения задачи о нахождении длины электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур, начнем с анализа данных, которым мы располагаем.
Дано:
- Максимальный заряд конденсатора: ( Q_m = 10 , \text{нКл} = 10 \times 10^{-9} , \text{Кл} )
- Максимальная сила тока в контуре: ( I_m = 1 , \text{А} )
Шаг 1: Найдем параметры колебательного контура.
В колебательном контуре максимальная зарядка конденсатора и максимальный ток связаны с частотой ( f ) следующим образом:
Максимальный заряд ( Q_m ) в конденсаторе:
[
Q_m = C U_m
]
где ( C ) — емкость конденсатора, ( U_m ) — максимальное напряжение.
Максимальный ток ( I_m ) связан с максимальным зарядом и емкостью следующим образом:
[
I_m = C \frac{dU}{dt} \implies I_m = \omega C U_m
]
где ( \omega = 2 \pi f ) — угловая частота.
Шаг 2: Установим связь между ( Q_m ) и ( I_m ).
Из вышеуказанных уравнений у нас получится две зависимости:
- Из первого уравнения: ( U_m = \frac{Q_m}{C} )
- Из второго уравнения подставляем ( U_m ):
[
I_m = C \cdot \omega \cdot \frac{Q_m}{C} \implies I_m = \omega Q_m
]
Теперь представим ( \omega ) в виде:
[
\omega = \frac{I_m}{Q_m}
]
Шаг 3: Найдем частоту ( f ).
Воспользуемся тем, что частота ( f ) связана с угловой частотой ( \omega ) как:
[
\omega = 2 \pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{I_m}{2\pi Q_m}
]
Подставим значения ( I_m ) и ( Q_m ) в уравнение:
[
f = \frac{1 , \text{А}}{2 \pi \cdot (10 \times 10^{-9} , \text{Кл})} = \frac{1}{20 \pi \times 10^{-9}} \approx \frac{10^9}{20 \pi} \approx \frac{10^9}{62.83} \approx 15.92 , \text{МГц}
]
Шаг 4: Найдем длину волны.
Длина волны ( \lambda ) в вакууме может быть найдена по формуле:
[
\lambda = \frac{c}{f}
]
где ( c ) — скорость света в вакууме (( c \approx 3 \times 10^8 , \text{м/с} )).
Теперь подставим значение частоты:
[
\lambda = \frac{3 \times 10^8 , \text{м/с}}{15.92 \times 10^6 , \text{Гц}} \approx \frac{3 \times 10^8}{15.92 \times 10^6} \approx 18.8 , \text{м}
]
Таким образом, длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, составляет приблизительно 18.8 метров.
