x²+q=25 x²-q²=7
Чтобы решить систему уравнений
- \( x^2 + q = 25 \)
- \( x^2 - q^2 = 7 \)
давайте начнем с первого уравнения и выразим \( q \) через \( x \).
Шаг 1: Выражаем \( q \) из первого уравнения
Из уравнения (1) мы можем выразить \( q \):
\[ q = 25 - x^2 \]
Шаг 2: Подставляем \( q \) во второе уравнение
Теперь подставим \( q \) во второе уравнение (2):
\[ x^2 - (25 - x^2)^2 = 7 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Сначала упростим \((25 - x^2)^2\):
\[ (25 - x^2)^2 = 625 - 50x^2 + x^4 \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ x^2 - (625 - 50x^2 + x^4) = 7 \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 - 625 + 50x^2 - x^4 = 7 \]
Теперь соберем все в одну сторону:
\[ -x^4 + 51x^2 - 632 = 0 \]
Шаг 5: Умножаем на -1 для удобства
Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от знака перед \( x^4 \):
\[ x^4 - 51x^2 + 632 = 0 \]
Шаг 6: Подставим \( y = x^2 \)
Теперь подставим \( y = x^2 \), тогда наше уравнение станет квадратным:
\[ y^2 - 51y + 632 = 0 \]
Шаг 7: Используем формулу решения квадратного уравнения
Теперь можем решать это квадратное уравнение по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -51 \), \( c = 632 \):
\[ \Delta = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 632 = 2601 - 2528 = 73 \]
Теперь подставляем в формулу:
\[ y = \frac{51 \pm \sqrt{73}}{2} \]
Шаг 8: Найдем значения \( y \)
Теперь вычислим два значения \( y \):
\[ y_1 = \frac{51 + \sqrt{73}}{2} \] \[ y_2 = \frac{51 - \sqrt{73}}{2} \]
Шаг 9: Найдем \( x \) и \( q \)
Поскольку \( y = x^2 \), нам нужно найти \( x \):
- Для \( y_1 \):
\[ x_1 = \sqrt{\frac{51 + \sqrt{73}}{2}} \quad \text{или} \quad x_1 = -\sqrt{\frac{51 + \sqrt{73}}{2}} \]
- Для \( y_2 \):
\[ x_2 = \sqrt{\frac{51 - \sqrt{73}}{2}} \quad \text{или} \quad x_2 = -\sqrt{\frac{51 - \sqrt{73}}{2}} \]
После нахождения значений \( x \), возвращаемся к \( q \):
\[ q = 25 - x^2 \]
Итог
Таким образом, мы получили решения для \( x \) и соответствующие значения \( q \) для каждого из найденных \( x \). Чтобы найти конкретные числа, можно подставлять значения и вычислять.
