X²+q=25 x²-q²=7

Чтобы решить систему уравнений 1) \( x^2 + q = 25 \) 2) \( x^2 - q^2 = 7 \) давайте начнем с первого уравнения и выразим \( q \) через \( x \). ### Шаг 1: Выражаем \( q \) из первого уравнения Из уравнения (1) мы можем выразить \( q \): \[ q = 25 - x^2 \] ### Шаг 2: Подставляем \( q \) во второе уравнение Теперь подставим \( q \) во второе уравнение (2): \[ x^2 - (25 - x^2)^2 = 7 \] ### Шаг 3: Упрощаем уравнение Сначала упростим \((25 - x^2)^2\): \[ (25 - x^2)^2 = 625 - 50x^2 + x^4 \] Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ x^2 - (625 - 50x^2 + x^4) = 7 \] ### Шаг 4: Раскроем скобки Раскроем скобки и упростим: \[ x^2 - 625 + 50x^2 - x^4 = 7 \] Теперь соберем все в одну сторону: \[ -x^4 + 51x^2 - 632 = 0 \] ### Шаг 5: Умножаем на -1 для удобства Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от знака перед \( x^4 \): \[ x^4 - 51x^2 + 632 = 0 \] ### Шаг 6: Подставим \( y = x^2 \) Теперь подставим \( y = x^2 \), тогда наше уравнение станет квадратным: \[ y^2 - 51y + 632 = 0 \] ### Шаг 7: Используем формулу решения квадратного уравнения Теперь можем решать это квадратное уравнение по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -51 \), \( c = 632 \): \[ \Delta = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 632 = 2601 - 2528 = 73 \] Теперь подставляем в формулу: \[ y = \frac{51 \pm \sqrt{73}}{2} \] ### Шаг 8: Найдем значения \( y \) Теперь вычислим два значения \( y \): \[ y_1 = \frac{51 + \sqrt{73}}{2} \] \[ y_2 = \frac{51 - \sqrt{73}}{2} \] ### Шаг 9: Найдем \( x \) и \( q \) Поскольку \( y = x^2 \), нам нужно найти \( x \): 1. Для \( y_1 \): \[ x_1 = \sqrt{\frac{51 + \sqrt{73}}{2}} \quad \text{или} \quad x_1 = -\sqrt{\frac{51 + \sqrt{73}}{2}} \] 2. Для \( y_2 \): \[ x_2 = \sqrt{\frac{51 - \sqrt{73}}{2}} \quad \text{или} \quad x_2 = -\sqrt{\frac{51 - \sqrt{73}}{2}} \] После нахождения значений \( x \), возвращаемся к \( q \): \[ q = 25 - x^2 \] ### Итог Таким образом, мы получили решения для \( x \) и соответствующие значения \( q \) для каждого из найденных \( x \). Чтобы найти конкретные числа, можно подставлять значения и вычислять.