Задание 1. Задан прямоугольник ABCD. К середина АВ, середина ВС, М середина CD, N середина AD. а) Докажите, что KLMN ромб 6) Найдите периметр и площадь KLMN, если АВ = 18 см. ВС =…

Чтобы решить эту задачу, давайте шаг за шагом разберёмся, как доказать, что KLMN является ромбом, а затем найдем его периметр и площадь.

Часть а) Докажите, что KLMN ромб

1. Определения: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

2. Параллелограмм KLMN:

   • Прямоугольник ABCD имеет следующие вершины:
     • A(0, 0)
     • B(18, 0)
     • C(18, 24)
     • D(0, 24)
   • Середины сторон:
     • K — середина AB: \( K(\frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = K(9, 0) \)
     • L — середина BC: \( L(\frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2}) = L(18, 12) \)
     • M — середина CD: \( M(\frac{18 + 0}{2}, \frac{24 + 24}{2}) = M(9, 24) \)
     • N — середина AD: \( N(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2}) = N(0, 12) \)

3. Доказательство равенства сторон:

   • Найдем длины сторон KLMN:
     • \( KL = \sqrt{(18 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \)
     • \( LM = \sqrt{(9 - 18)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \)
     • \( MN = \sqrt{(9 - 0)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \)
     • \( NK = \sqrt{(0 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \)

4. Результат: Так как все стороны KLMN равны (KL = LM = MN = NK = 15), мы можем сделать вывод, что KLMN — ромб.

Часть 6) Найдите периметр и площадь KLMN, если AВ = 18 см, ВC = 24 см

1. Периметр:

   • Периметр ромба (P) можно найти по формуле: \[ P = 4 \cdot \text{длина одной стороны} \]
   • Длина стороны KLMN равна \( 15 \) см, значит: \[ P = 4 \cdot 15 = 60 \text{ см} \]

2. Площадь:

   • Площадь ромба (S) можно найти по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.
   • Длину диагоналей можно найти, используя координаты:
     • \( d_1 \) (KL) — длинна от K до M: \( d_1 = \sqrt{(9 - 9)^2 + (24 - 0)^2} = 24 \)
     • \( d_2 \) (LN) — длинна от L до N: \( d_2 = \sqrt{(18 - 0)^2 + (12 - 12)^2} = 18 \)
   • Теперь подставим в формулу: \[ S = \frac{24 \cdot 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2 \]

Ответы:

• Ромб KLMN имеет периметр 60 см и площадь 216 см².