Вопрос от Софа 09 февраля 2025 17:37

Question 1

Sin (x+2) <= √2/2

Answer

Решим неравенство ( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Шаг 1: Понимание неравенства

Неравенство ( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} ) означает, что значение функции синуса для аргумента ( x + 2 ) должно быть меньше или равно ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Значение ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) соответствует двум углам в тригонометрии:

( 45^\circ ) или ( \frac{\pi}{4} ) радиан
( 135^\circ ) или ( \frac{3\pi}{4} ) радиан

Шаг 2: Поиск решений

Функция синуса равна ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) в следующих интервалах:

( x + 2 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi )
( x + 2 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi )

где ( k ) — любое целое число (поскольку синус имеет период ( 2\pi )). Для решения неравенства, нужно изучить, когда ( \sin(x + 2) ) меньше или равно ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Шаг 3: Уточнение углов

Теперь вычтем 2 из обоих сторон:

( x = \frac{\pi}{4} - 2 + 2k\pi )
( x = \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi )

Теперь давайте представим меры углов:

Первая граница: [ x + 2 = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} - 2 ]
Вторая граница: [ x + 2 = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{4} - 2 ]

Шаг 4: Нахождение промежутков

Теперь определим, когда ( \sin(x + 2) ) меньше или равно ( \frac{\sqrt{2}}{2} ):

( \sin ) принимает значения меньше ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) в интервалах:
1. ( x + 2 \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right) )

Подставим ( x ) в эти интервалы:

( \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi )

Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, окончательное решение можно записать как: [ x \in \left(\frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это означает, что значения ( x ) будут лежать в этих интервалах для всех целых значений ( k ).

Заключение

Мы смогли решить неравенство ( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} ), а также вычислить границы интервалов, в которых функция соблюдает это условие. Если у вас остались вопросы по этому решению, не стесняйтесь задавать их!

Question 2

sin (x+2) <= √2/2

Answer

Решим неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \). ### Шаг 1: Понимание неравенства Неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что значение функции синуса для аргумента \( x + 2 \) должно быть меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) соответствует двум углам в тригонометрии: - \( 45^\circ \) или \( \frac{\pi}{4} \) радиан - \( 135^\circ \) или \( \frac{3\pi}{4} \) радиан ### Шаг 2: Поиск решений Функция синуса равна \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в следующих интервалах: 1. \( x + 2 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) 2. \( x + 2 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) где \( k \) — любое целое число (поскольку синус имеет период \( 2\pi \)). Для решения неравенства, нужно изучить, когда \( \sin(x + 2) \) меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). ### Шаг 3: Уточнение углов Теперь вычтем 2 из обоих сторон: 1. \( x = \frac{\pi}{4} - 2 + 2k\pi \) 2. \( x = \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi \) Теперь давайте представим меры углов: 1. Первая граница: \[ x + 2 = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} - 2 \] 2. Вторая граница: \[ x + 2 = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{4} - 2 \] ### Шаг 4: Нахождение промежутков Теперь определим, когда \( \sin(x + 2) \) меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): - \( \sin \) принимает значения меньше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в интервалах: 1. \( x + 2 \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right) \) Подставим \( x \) в эти интервалы: 1. \( \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi \) ### Шаг 5: Итоговое решение Таким образом, окончательное решение можно записать как: \[ x \in \left(\frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] Это означает, что значения \( x \) будут лежать в этих интервалах для всех целых значений \( k \). ### Заключение Мы смогли решить неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \), а также вычислить границы интервалов, в которых функция соблюдает это условие. Если у вас остались вопросы по этому решению, не стесняйтесь задавать их!