sin (x+2) <= √2/2
Решим неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 1: Понимание неравенства
Неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что значение функции синуса для аргумента \( x + 2 \) должно быть меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) соответствует двум углам в тригонометрии:
- \( 45^\circ \) или \( \frac{\pi}{4} \) радиан
- \( 135^\circ \) или \( \frac{3\pi}{4} \) радиан
Шаг 2: Поиск решений
Функция синуса равна \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в следующих интервалах:
- \( x + 2 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
- \( x + 2 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
где \( k \) — любое целое число (поскольку синус имеет период \( 2\pi \)). Для решения неравенства, нужно изучить, когда \( \sin(x + 2) \) меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 3: Уточнение углов
Теперь вычтем 2 из обоих сторон:
- \( x = \frac{\pi}{4} - 2 + 2k\pi \)
- \( x = \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi \)
Теперь давайте представим меры углов:
- Первая граница: \[ x + 2 = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} - 2 \]
- Вторая граница: \[ x + 2 = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{4} - 2 \]
Шаг 4: Нахождение промежутков
Теперь определим, когда \( \sin(x + 2) \) меньше или равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
- \( \sin \) принимает значения меньше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в интервалах:
- \( x + 2 \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right) \)
Подставим \( x \) в эти интервалы:
- \( \frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi \)
Шаг 5: Итоговое решение
Таким образом, окончательное решение можно записать как: \[ x \in \left(\frac{3\pi}{4} - 2 + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} - 2 + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]
Это означает, что значения \( x \) будут лежать в этих интервалах для всех целых значений \( k \).
Заключение
Мы смогли решить неравенство \( \sin(x + 2) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \), а также вычислить границы интервалов, в которых функция соблюдает это условие. Если у вас остались вопросы по этому решению, не стесняйтесь задавать их!
