Контрольная работа по теме "Тела вращения".
1. Вариант.
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Давайте подробно решим каждую из задач по теме "Тела вращения". Для каждой задачи будет дано пошаговое объяснение.
### Задача 1: Боковая поверхность цилиндра
**Дано:** Осевое сечение цилиндра - квадрат с диагональю 4 см.
**Найти:** Площадь боковой поверхности цилиндра.
**Решение:**
1. **Находим сторону квадрата:**
Диагональ квадрата \(d = 4 \, \text{см}\).
Сторона квадрата \(a\) связана с диагональю через формулу:
\[
d = a\sqrt{2} \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.
\]
2. **Находим радиус основания цилиндра:**
Поскольку осевое сечение представляет собой квадрат, радиус \(r\) цилиндра можно найти как половину длины стороны:
\[
r = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \, \text{см}.
\]
3. **Находим высоту цилиндра:**
Высота \(h\) цилиндра совпадает со стороной квадрата, так что
\(h = 2\sqrt{2} \, \text{см}\).
4. **Вычисляем площадь боковой поверхности:**
Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\):
\[
S_{\text{бок}} = 2 \pi (\sqrt{2}) (2\sqrt{2}) = 8\pi \, \text{см}^2.
\]
### Задача 2: Конус с образующей под углом
**Дано:** Радиус основания конуса \(r = 6 \, \text{см}\), образующая наклонена под углом \(60^\circ\).
**Найти:** Площадь сечения и площадь боковой поверхности.
1. **Находим высоту конуса:**
Используя тригонометрию: \(h = r \cdot \tan(60^\circ)\), где \(h\) - высота конуса:
\[
h = 6 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}.
\]
2. **Вычисляем боковую поверхность:**
Боковая поверхность \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(l\) - образующая:
Для нахождения \(l\) можно использовать теорему Пифагора:
\[
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\]
Таким образом:
\[
S_{\text{бок}} = \pi (6)(12) = 72\pi \, \text{см}^2.
\]
3. **Сечение через две образующие:**
Сечение конуса, проходящее через две образующие и образующее угол \(45^\circ\), представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь сечения:
\[
S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} a h,
\]
где \(a\) – основание (в данном случае длина, равная радиусу):
Площадь будет равна:
\[
S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 \cdot \tan(45^\circ)) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2.
\]
### Задача 3: Площадь сечения шара
**Дано:** Диаметр шара \(d\).
**Найти:** Площадь сечения шара плоскостью под углом \(45^\circ\).
1. **Радиус шара:**
\(r = \frac{d}{2}\).
2. **Рассмотрим сечение:**
Плоскость под углом \(45^\circ\) создает круг в центре шара. Площадь сечения будет:
\[
S = \pi R^2,
\]
где \(R\) - радиус круга, полученного при сечении. Поскольку плоскость не проходит через центр, радиус будет уменьшен на \(\frac{d}{\sqrt{2}}\):
\[
R = \frac{d}{2\sqrt{2}}.
\]
Площадь:
\[
S = \pi \left(\frac{d^2}{8}\right).
\]
### Задача 4: Плоскость в цилиндре
**Дано:** Диагональ сечения равна 10 см, удалена от оси на 4 см.
**Найти:** Площадь боковой поверхности цилиндра.
1. **Находим радиус основания:**
Диагональ \(d\) прямоугольника связан с радиусом \(r\) через:
\[
d = 2\sqrt{r^2 - d^2} \quad (где \, d \, - \, расстояние \, от \, оси),
\]
из этого находим:
\[
10 = 2\sqrt{r^2 - 4^2} \implies 5 = \sqrt{r^2 - 16} \implies 25 = r^2 - 16 \implies r^2 = 41 \implies r = \sqrt{41} \, \text{см}.
\]
2. **Найдем высоту:**
С учетом плоскости и дуги:
\[
h = 8 \sqrt{3} = 2 \quad \text{при } \pi.
\]
3. **Находим площадь боковой поверхности:**
\[
S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2 \pi \sqrt{41} \cdot 8 \sqrt{3} = 16\pi \sqrt{123}.
\]
Теперь все задачи решены с полными объяснениями. Если будут еще вопросы по темам, не стесняйтесь задавать!
