Контрольная работа по теме "Тела вращения". 1. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Радиус…
Контрольная работа по теме "Тела вращения". 1. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью. 4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Давайте подробно решим каждую из задач по теме "Тела вращения". Для каждой задачи будет дано пошаговое объяснение.
Задача 1: Боковая поверхность цилиндра
Дано: Осевое сечение цилиндра - квадрат с диагональю 4 см.
Найти: Площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
Находим сторону квадрата:
Диагональ квадрата \(d = 4 \, \text{см}\).
Сторона квадрата \(a\) связана с диагональю через формулу:
\[ d = a\sqrt{2} \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \, \text{см}. \]Находим радиус основания цилиндра:
Поскольку осевое сечение представляет собой квадрат, радиус \(r\) цилиндра можно найти как половину длины стороны: \[ r = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \, \text{см}. \]Находим высоту цилиндра:
Высота \(h\) цилиндра совпадает со стороной квадрата, так что
\(h = 2\sqrt{2} \, \text{см}\).Вычисляем площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\): \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi (\sqrt{2}) (2\sqrt{2}) = 8\pi \, \text{см}^2. \]
Задача 2: Конус с образующей под углом
Дано: Радиус основания конуса \(r = 6 \, \text{см}\), образующая наклонена под углом \(60^\circ\).
Найти: Площадь сечения и площадь боковой поверхности.
Находим высоту конуса:
Используя тригонометрию: \(h = r \cdot \tan(60^\circ)\), где \(h\) - высота конуса: \[ h = 6 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}. \]Вычисляем боковую поверхность:
Боковая поверхность \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(l\) - образующая: Для нахождения \(l\) можно использовать теорему Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}. \] Таким образом: \[ S_{\text{бок}} = \pi (6)(12) = 72\pi \, \text{см}^2. \]Сечение через две образующие:
Сечение конуса, проходящее через две образующие и образующее угол \(45^\circ\), представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь сечения: \[ S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} a h, \] где \(a\) – основание (в данном случае длина, равная радиусу): Площадь будет равна: \[ S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 \cdot \tan(45^\circ)) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2. \]
Задача 3: Площадь сечения шара
Дано: Диаметр шара \(d\).
Найти: Площадь сечения шара плоскостью под углом \(45^\circ\).
Радиус шара:
\(r = \frac{d}{2}\).Рассмотрим сечение:
Плоскость под углом \(45^\circ\) создает круг в центре шара. Площадь сечения будет: \[ S = \pi R^2, \] где \(R\) - радиус круга, полученного при сечении. Поскольку плоскость не проходит через центр, радиус будет уменьшен на \(\frac{d}{\sqrt{2}}\): \[ R = \frac{d}{2\sqrt{2}}. \] Площадь: \[ S = \pi \left(\frac{d^2}{8}\right). \]
Задача 4: Плоскость в цилиндре
Дано: Диагональ сечения равна 10 см, удалена от оси на 4 см.
Найти: Площадь боковой поверхности цилиндра.
Находим радиус основания:
Диагональ \(d\) прямоугольника связан с радиусом \(r\) через: \[ d = 2\sqrt{r^2 - d^2} \quad (где \, d \, - \, расстояние \, от \, оси), \] из этого находим: \[ 10 = 2\sqrt{r^2 - 4^2} \implies 5 = \sqrt{r^2 - 16} \implies 25 = r^2 - 16 \implies r^2 = 41 \implies r = \sqrt{41} \, \text{см}. \]Найдем высоту:
С учетом плоскости и дуги: \[ h = 8 \sqrt{3} = 2 \quad \text{при } \pi. \]Находим площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2 \pi \sqrt{41} \cdot 8 \sqrt{3} = 16\pi \sqrt{123}. \]
Теперь все задачи решены с полными объяснениями. Если будут еще вопросы по темам, не стесняйтесь задавать!
Обсуждение
2 сообщенияКонтрольная работа по теме "Тела вращения". 2. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75π см2. Найдите диаметр шара. 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 3 см, и стягивающей дугу 120°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Давайте последовательно решим задачи по теме "Тела вращения" из второго варианта контрольной работы.
Задача 1: Площадь боковой поверхности цилиндра
Дано: Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна \(16\pi \, \text{см}^2\).
Найти: Площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
Находим радиус основания цилиндра:
Поскольку площадь основания \(S_0 = \pi r^2 = 16\pi\): \[ r^2 = 16 \implies r = 4 \, \text{см}. \]Находим сторону квадрата:
Площадь осевого сечения равного квадрату \(S = a^2\) равна \(S\). Нам нужно найти высоту, используя диаметр: \[ S = 4 \cdot 4 = 16 \, \text{см}^2. \]Находим высоту цилиндра:
Высота также будет равна стороне квадрата, \(h = 4 \, \text{см}\).Вычисляем площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\): \[ S_{\text{бок}} = 2\pi (4)(4) = 32\pi \, \text{см}^2. \]
Задача 2: Конус с углом в 90°
Дано: Высота конуса равна \(6 \, \text{см}\), угол при вершине осевого сечения равен \(90^\circ\).
Найти: Площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен \(30^\circ\), и площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Находим радиус основания конуса:
Поскольку угол в вершине равен \(90^\circ\), основание представляется прямоугольным треугольником: \[ r = h = 6 \, \text{см}. \]Найдём площадь сечения: Сечение, проходящее через две образующие, может быть рассчитано как площадь треугольника с основанием \(r\) и высотой \(h\): \[ S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} \cdot r_h \cdot h \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (6 \sin(30^\circ) \cdot 6). \] \[ S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} \cdot (6) (3) = 9 \, \text{см}^2. \]
Вычисляем боковую поверхность:
Боковая поверхность \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(l\) - образующая: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см}. \] Подставляем: \[ S_{\text{бок}} = \pi (6)(6\sqrt{2}) = 36\sqrt{2}\pi \, \text{см}^2. \]
Задача 3: Диаметр шара
Дано: Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом \(30^\circ\) к нему, равна \(75\pi \, \text{см}^2\).
Найти: Диаметр шара.
Решение:
По формуле площади круга:
\[ S = \pi R^2, \] где \(R\) - радиус круга, полученного при сечении шара: \[ 75\pi = \pi R^2 \implies R^2 = 75 \implies R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{см}. \]Найдем диаметр шара: \[ d = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, \text{см}. \]
Задача 4: Площадь боковой поверхности конуса
Дано: Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна \(3 \, \text{см}\), и стягивающей дугу \(120^\circ\). Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол \(45^\circ\).
Найти: Площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Определяем радиус основания конуса:
Длину хорды можно найти по формуле:
\[ a = 2R \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 3 \implies R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \, \text{см}. \]Находим высоту конуса (h): Здесь мы используем соотношение для высоты и радиуса: \[ h = R \tan(45^\circ) = R = \sqrt{3} \, \text{см}. \]
Находим боковую поверхность: Сначала найдём образующую \(l\): \[ l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6} = 3. \] Теперь найдём площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi (\sqrt{3})(3) = 3\pi\sqrt{3} \, \text{см}^2. \]
Теперь все задачи решены с полными объяснениями. Если будут еще вопросы по темам, не стесняйтесь задавать!
