Для решения задачи воспользуемся принципом Архимеда, который утверждает, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости. Дерево плавает, если вес дерева равен или меньше силы Архимеда, действующей на него.
Пусть:
- ( V ) – общий объем тела,
- ( 4V ) – объем части тела, находящейся над поверхностью жидкости,
- ( 3V ) – объем части тела, находящейся под поверхностью жидкости,
- ( \rho ) – плотность дерева,
- ( \rho_{\text{жидкости}} = 900 , \text{кг/м}^3 ) – плотность жидкости.
Теперь определим массу дерева:
[
m_{\text{дерева}} = \rho \cdot V
]
Исходя из условия задачи, можем записать уравнение равновесия на плоскости жидкости:
Сила тяжести дерева равна весу вытесненной жидкости:
[
m_{\text{дерева}} = m_{\text{вытесненной жидкости}}
]
Сила тяжести дерева:
[
m_{\text{дерева}} \cdot g = \rho \cdot V \cdot g
]
Вес вытесненной жидкости (объем под водой (3V)):
[
m_{\text{вытесненной жидкости}} \cdot g = \rho_{\text{жидкости}} \cdot 3V \cdot g
]
Теперь равновесие сил можно записать:
[
\rho \cdot V \cdot g = \rho_{\text{жидкости}} \cdot 3V \cdot g
]
Сократив (g) и (V) (поскольку они положительные), получаем:
[
\rho = \rho_{\text{жидкости}} \cdot 3
]
Подставим значение плотности жидкости:
[
\rho = 900 , \text{кг/м}^3 \cdot 3
]
[
\rho = 2700 , \text{кг/м}^3
]
Следовательно, плотность дерева составляет:
[
\boxed{2700} , \text{кг/м}^3.
]
Теперь проверим уравнения на соответствие условиям задачи. Рассмотрим варианты уравнений:
- ( pxg - 4V = p - 3V - g )
- ( Pxg3V = pV - g )
- ( Px - g - 3V = p - 4V - g )
- ( Px - g - V = p - 4V - g )
Из этих вариантов уравнение для равновесия будет выглядеть как ( \rho \cdot V \cdot g = \rho_{\text{жидкости}} \cdot 3V \cdot g ). Проверяем варианты, которые мы выписали.
Наиболее корректно оформлено уравнение влияния на плавание в таком виде:
[
\rho \cdot V = \rho_{\text{жидкости}} \cdot 3V,
]
что соответствует уравнению, включая вес дерева и вытесняемую жидкость.
Следовательно, окончательно:
Плотность дерева составляет ( \boxed{2700} , \text{кг/м}^3 ).
