3 cos^2 x + 2 sin x cos x=0

Давайте решим уравнение \(3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Применяем тригонометрические тождества Здесь мы используем тождество \(\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}\). Однако, давайте сначала попробуем выделить косинус. Перепишем уравнение: \[ 3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \] Теперь мы можем представить \(\sin x\) в терминах \(\cos x\): \[ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \] Но для упрощения будем оставлять \(\sin x\) без замены, так как у нас есть произведение \(\sin x \cos x\). ### Шаг 2: Факторизация Теперь давайте выделим общий множитель: \[ \cos x (3 \cos x + 2 \sin x) = 0 \] ### Шаг 3: Определяем возможные случаи Теперь у нас есть два случая, когда произведение равно нулю: 1. \(\cos x = 0\) 2. \(3 \cos x + 2 \sin x = 0\) ### Шаг 4: Решение первого случая **Случай 1:** \(\cos x = 0\) Косинус равен нулю при: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 5: Решение второго случая **Случай 2:** \(3 \cos x + 2 \sin x = 0\) Переместим \(2 \sin x\) на другую сторону: \[ 3 \cos x = -2 \sin x \] Теперь разделим обе стороны на \(\cos x\) (если \(\cos x \neq 0\)): \[ \tan x = -\frac{3}{2} \] ### Шаг 6: Находим x Для решения уравнения \(\tan x = -\frac{3}{2}\) мы можем использовать обратную функцию тангенса: \[ x = \arctan\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 7: Подводим итоги Таким образом, полное решение уравнения включает: 1. Решение из первого случая: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Решение из второго случая: \[ x = \arctan\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это и есть конечное решение уравнения \(3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0\). Вы можете использовать эти подходы для нахождения численных значений или дальнейшего анализа, если это необходимо.