y=(x+2)³+ctg5x найти y'

Чтобы найти производную функции \( y = (x+2)^3 + \cot(5x) \), будем использовать правила дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную первой части

Рассмотрим первую часть функции:

\[ y_1 = (x+2)^3 \]

Для нахождения производной \( y_1' \) используем правило дифференцирования степенной функции. Если \( u = x + 2 \), то по цепному правилу получаем:

\[ y_1' = 3(x+2)^{2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2) \]

Поскольку \( \frac{d}{dx}(x + 2) = 1 \), имеем:

\[ y_1' = 3(x+2)^{2} \]

Шаг 2: Найдем производную второй части

Теперь найдем производную второй части функции:

\[ y_2 = \cot(5x) \]

Для нахождения производной этой функции, вспомним, что производная \( \cot(u) \) равна \( -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \). Здесь \( u = 5x \), тогда:

\[ \frac{du}{dx} = 5 \]

Тогда производная \( y_2' \) будет:

\[ y_2' = -\csc^2(5x) \cdot 5 = -5\csc^2(5x) \]

Шаг 3: Сложим производные

Теперь, чтобы найти полную производную функции \( y \):

\[ y' = y_1' + y_2' = 3(x + 2)^{2} - 5\csc^2(5x) \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( y \) будет:

\[ y' = 3(x + 2)^{2} - 5\csc^2(5x) \]

Это и есть ответ на задачу. Если тебе нужно что-то уточнить, дай знать!