Чтобы найти производную функции ( y = (x+2)^3 + \cot(5x) ), будем использовать правила дифференцирования.
Шаг 1: Найдем производную первой части
Рассмотрим первую часть функции:
[
y_1 = (x+2)^3
]
Для нахождения производной ( y_1' ) используем правило дифференцирования степенной функции. Если ( u = x + 2 ), то по цепному правилу получаем:
[
y_1' = 3(x+2)^{2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2)
]
Поскольку ( \frac{d}{dx}(x + 2) = 1 ), имеем:
[
y_1' = 3(x+2)^{2}
]
Шаг 2: Найдем производную второй части
Теперь найдем производную второй части функции:
[
y_2 = \cot(5x)
]
Для нахождения производной этой функции, вспомним, что производная ( \cot(u) ) равна ( -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} ). Здесь ( u = 5x ), тогда:
[
\frac{du}{dx} = 5
]
Тогда производная ( y_2' ) будет:
[
y_2' = -\csc^2(5x) \cdot 5 = -5\csc^2(5x)
]
Шаг 3: Сложим производные
Теперь, чтобы найти полную производную функции ( y ):
[
y' = y_1' + y_2' = 3(x + 2)^{2} - 5\csc^2(5x)
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( y ) будет:
[
y' = 3(x + 2)^{2} - 5\csc^2(5x)
]
Это и есть ответ на задачу. Если тебе нужно что-то уточнить, дай знать!
