Найти наименьшее значение функции у=1-12х+3х^2 на отрезке [1; 4]

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 1 - 12x + 3x^2 \) на отрезке \([1; 4]\), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Находим производную \( y' \) функции \( y \):

\[ y' = -12 + 6x \]

Шаг 2: Найти критические точки

Устанавливаем производную равной нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -12 + 6x = 0 \]

Решаем это уравнение:

\[ 6x = 12 \] \[ x = 2 \]

Шаг 3: Проверить, попадает ли критическая точка на отрезок

Критическая точка \( x = 2 \) попадает в отрезок \([1; 4]\). Теперь нам нужно выполнить подстановку этой точки, а также концов отрезка, чтобы найти значение функции в этих точках.

Шаг 4: Вычислить значения функции в критических и граничных точках

Теперь подставим нужные значения \( x \) в функцию \( y \):

1. Когда \( x = 1 \): \[ y(1) = 1 - 12 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 1 - 12 + 3 = -8 \]

2. Когда \( x = 2 \): \[ y(2) = 1 - 12 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 1 - 24 + 12 = -11 \]

3. Когда \( x = 4 \): \[ y(4) = 1 - 12 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 = 1 - 48 + 48 = 1 \]

Шаг 5: Сравнить значения

Теперь сравниваем найденные значения:

• \( y(1) = -8 \)
• \( y(2) = -11 \)
• \( y(4) = 1 \)

Наименьшее значение среди них — \( -11 \), которое соответствует точке \( x = 2 \).

Ответ

Наименьшее значение функции \( y = 1 - 12x + 3x^2 \) на отрезке \([1; 4]\) равно \( -11 \).