1) 1/3 * x ^ 2 - x + 3 = 0 2) 1/5 * x ^ 2 - 2x + 5 = 0 3) y ^ 2 - y - 42 = 0 4) (3x - 5) ^ 2 + 2x = 5 5) x ^ 2 - sqrt(3) * x - 6 = 0
Давайте решим предложенные уравнения по одному, предоставляя подробные объяснения на каждую задачу.
Задача 1:
\[ \frac{1}{3} x^2 - x + 3 = 0 \]
Шаг 1: Умножение на 3 для устранения дроби
Чтобы упростить уравнение, умножим обе стороны на 3: \[ x^2 - 3x + 9 = 0 \]
Шаг 2: Применение дискриминанта
Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 9 \): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 \]
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, но есть два комплексных корня.
Шаг 3: Нахождение корней
Корни можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Поскольку \( D < 0 \), корни будут комплексными: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{3 \pm 3i\sqrt{3}}{2} \] Итак, комплексные корни: \[ x_1 = \frac{3 + 3i\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - 3i\sqrt{3}}{2} \]
Задача 2:
\[ \frac{1}{5} x^2 - 2x + 5 = 0 \]
Шаг 1: Умножение на 5
Чтобы убрать дробь, умножаем на 5: \[ x^2 - 10x + 25 = 0 \]
Шаг 2: Применение дискриминанта
Находим дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0 \]
Шаг 3: Нахождение корней
Поскольку \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{10 \pm 0}{2} = 5 \]
Задача 3:
\[ y^2 - y - 42 = 0 \]
Шаг 1: Применение дискриминанта
Находим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \]
Шаг 2: Нахождение корней
Корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{1 \pm 13}{2} \] Таким образом, корни: \[ y_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad y_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]
Задача 4:
\[ (3x - 5)^2 + 2x = 5 \]
Шаг 1: Раскрытие скобок
Сначала раскрываем квадрат: \[ 9x^2 - 30x + 25 + 2x = 5 \] Соберем все в одну сторону: \[ 9x^2 - 28x + 25 = 0 \]
Шаг 2: Применение дискриминанта
Находим дискриминант: \[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 784 - 900 = -116 \]
Дискриминант отрицательный, значит, у этого уравнения нет действительных корней, только комплексные.
Задача 5:
\[ x^2 - \sqrt{3} x - 6 = 0 \]
Шаг 1: Применение дискриминанта
Находим дискриминант: \[ D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 3 + 24 = 27 \]
Шаг 2: Нахождение корней
Корни уравнения: \[ x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2}, \frac{-2\sqrt{3}}{2} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 2\sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3} \]
Если нужно больше деталей по какой-то из задач, дайте знать!
